UFRJ, Cálculo 2, PF 2015.2, questão 7.
Seja
E a curva de nível 2 de . A equação da reta tangente a em é:
Passo 1
Primeiro vamos descobrir quem é a curva
Ela é a curva de nível 2 da função, então:
Beleza, agora temos que lembrar que o vetor gradiente é sempre perpendicular a curva de nível da função. Sabendo que o vetor tangente é tangente a curva (óh!), então podemos usar o fato de esses dois vetores serem perpendiculares entre si no ponto de tangencia para encontrar o vetor diretor da reta tangente a essa curva.
Passo 2
Vamos calcular o vetor gradiente de
No ponto de tangencia temos:
Passo 3
Agora vamos usar o fato do vetor gradiente ser perpendicular ao vetor tangente :
Assim, o vetor tangente é
Se arbitrarmos teremos:
Passo 4
Agora vamos parametrizar essa reta.
Show, mas as opções estão com as equações cartesianas da reta, e não com equações paramétricas. Então, bora achar a equação cartesiana disso.
Passo 5
Temos
Se isolarmos o na segunda equação, podemos substitui-lo na primeira e teremos nossa equação cartesiana.
Então