Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Regra da Cadeia
Seja , em que é uma função diferenciável.
b) Sabendo que , determine a equação da reta tangente à curva de nível de que passa pelo ponto .
Passo 1
b)
Vamos lá... o que define a reta tangente? A derivada da curva e o ponto de tangência, certo? Então pegamos esse vetor da derivada, multiplicamos pelo parâmetro e somamos o ponto de tangência! Tá, mas não temos a equação da curva... como faremos?
Neste caso, podemos encontrar o vetor derivada encontrando, antes, o vetor gradiente, e, depois, girando-o em ! Entendeu? É porque o vetor gradiente é normal à curva de nível, então de rotacionarmos ele em , teremos o vetor tangente!
Como o próprio enunciado disse, o ponto é , e, jogando ele em , temos:
Passo 2
E sabemos que a derivada vale , dado do enunciado! Assim, podemos encontrar o gradiente fazendo as derivadas em relação a e a :
Portanto, gradiente da função a função no ponto é , ou seja, na verdade é um vetor múltiplo de ! Assim, a equação da reta tangente será:
Para girar em um vetor em , basta trocar as coordenadas de lugar (que vai continuar dando , por sinal hehe) e trocar o sinal da primeira. Então, teremos:
Resposta
Reta Tangente: