Seja f(x, y) uma função diferenciável tal que C = { (x, y) ∈ R² | f(x, y) = 0 } é uma curva no plano. Sabendo que P_0 = {1,1} ∈ C e que o gradiente de f no ponto P0 é o vetor (2,1) , podemos afirmar que a equação da reta tangente a C em P_0 é:

(a) x + y = 2

(b) 2x + y = 2

(c) x + 2y = 3.

(d) 2x + y = 3.

Passo 1

Queremos a equação da reta tangente a C em P 0 .

A equação do plano tangente a uma superfície em um ponto P 0 é:

n → ⋅ x , y , z = n → ⋅ P 0

onde n → é o vetor normal em P .

Mas aqui não queremos o plano tangente a uma superfície, e sim a reta tangente à uma curva de nível da superfície. Ficou confuso? Basicamente queremos uma reta, e não um plano, então podemos trabalhar com 2 dimensões em vez de 3, beleza?

Passo 2

Então a equação fica:

n → ⋅ x , y = n → ⋅ P

E como o gradiente é o vetor normal:

∇ f P 0 ⋅ x , y = ∇ f P 0 ⋅ P 0

⇒     2,1 ⋅ x , y = 2,1 ⋅ ( 1,1 )

⇒ 2 x + y = 2 + 1 = 3

Resposta

Alternativa (d)

Exercícios Resolvidos de Reta Tangente no R²

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