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Exercícios Resolvidos de Reta Tangente no R²

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Exercício 81234567910111213

Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 4 - Regra da Cadeia, Vetor Gradiente, Questão 2.2

2.2. Seja r a reta tangente à curva x 3 + 3 x y + y 3 + 3 x = 18 no ponto 1,2 . Determine as retas que são tangentes à curva x 2 + x y + y 2 = 7 e paralelas à reta r .

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema queremos obter as retas tangentes a x 2 + x y + y 2 = 7 que são paralelas a r sendo r a reta tangente a x 3 + 3 x y + y 3 + 3 x = 18 no ponto 1,2 .

Parece tranquilo? 😉

Primeiramente temos que obter a reta r , pra isso, obtemos o vetor gradiente a x 3 + 3 x y + y 3 + 3 x = 18 no ponto 1,2 e fazemos o produto interno com o vetor x - 1 , y - 2 .

Depois disso, fazemos o mesmo para a curva x 2 + x y + y 2 = 7 porém no ponto genérico x 0 , y 0 .

E para descobrir para quais pontos x 0 , y 0 a reta tangente é paralela a r , temos que lembrar que retas paralelas tem o mesmo coeficiente angular...

sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Obtendo o gradiente de x 3 + 3 x y + y 3 + 3 x = 18 , temos

∇ f = ∂ x 3 + 3 x y + y 3 + 3 x - 18 ∂ x , ∂ x 3 + 3 x y + y 3 + 3 x - 18 ∂ y

∇ f = 3 x 2 + 3 y + 3 , 3 y 2 + 3 x

Aplicando o ponto 1,2 , temos

∇ f 1,2 = 3 1 2 + 3 2 + 3 , 3 2 2 + 3 1

∇ f 1,2 = 12 , 15

Calculando o produto interno

∇ f 1,2 · x - 1 , y - 2 = 0

12 , 15 · x - 1 , y - 2 = 0

12 x - 1 + 15 y - 2 = 0

12 x - 12 + 15 y - 30 = 0

y = 42 - 12 x 15

Portanto, a reta r : y = 42 - 12 x 15 .

Bacana, não é? 😊

Passo 3

Agora vamos obter o vetor gradiente de x 2 + x y + y 2 = 7

∇ g = ∂ x 2 + x y + y 2 - 7 ∂ x , ∂ x 2 + x y + y 2 - 7 ∂ y

∇ g = 2 x + y , 2 y + x

Aplicando o ponto genérico x 0 , y 0

∇ g x 0 , y 0 = 2 x 0 + y 0 , 2 y 0 + x 0

Calculando o produto interno com x - x 0 , y - y 0 , temos

∇ g x 0 , y 0 · x - x 0 , y - y 0 = 0

2 x 0 + y 0 , 2 y 0 + x 0 · x - x 0 , y - y 0 = 0

2 x 0 + y 0 x - x 0 + 2 y 0 + x 0 y - y 0 = 0

Simplificando essa equação

2 x 0 x - 2 x 0 2 + y 0 x - x 0 y 0 + 2 y 0 + x 0 y - y 0 = 0

2 y 0 + x 0 y - y 0 = - 2 x 0 x - 2 x 0 2 + y 0 x - x 0 y 0

y - y 0 = - 2 x 0 x + 2 x 0 2 - y 0 x + x 0 y 0 2 y 0 + x 0

y = - 2 x 0 x + 2 x 0 2 - y 0 x + x 0 y 0 2 y 0 + x 0 + y 0

Para essa reta e a reta r serem paralelas, o termo que multiplica x deve ser igual...

y = - 2 x 0 - y 0 x + 2 x 0 2 + x 0 y 0 2 y 0 + x 0 + y 0

Ou seja

- 2 x 0 - y 0 2 y 0 + x 0 = - 12 15

Simplificando essa igualdade, vamos obter

2 x 0 + y 0 2 y 0 + x 0 = 12 15

15 2 x 0 + y 0 = 12 2 y 0 + x 0

30 x 0 + 15 y 0 = 24 y 0 + 12 x 0

30 x 0 - 12 x 0 = 24 y 0 - 15 y 0

1 8 x 0 = 9 y 0

2 x 0 = y 0

Estamos quase lá! 👀

Passo 4

Substituindo essa relação na equação da curva, temos

x 2 + x y + y 2 = 7

x 0 2 + x 0 2 x 0 + 2 x 0 2 = 7

x 0 2 + 2 x 0 2 + 4 x 0 2 = 7

7 x 0 2 = 7

x 0 = ± 1

Portanto, se 2 x 0 = y 0 ...

y 0 = ± 2

Substituindo na equação y , temos

Para o ponto 1,2 já sabemos qual será a reta, pois será exatamente igual a reta r já que usamos o mesmo ponto para calculá-la

Já para o ponto - 1 , - 2

y = - 2 - 1 - - 2 x + 2 - 1 2 + - 1 - 2 2 - 2 + - 1 + - 2

y = 2 + 2 x + 2 + 2 - 5 - 2

y = 4 x + 4 - 5 - 10 5

y = 4 x + 4 + 10 - 5

y = - 4 x + 1 4 5

Então essa é a única reta paralela a r que seja tangente a x 2 + x y + y 2 = 7

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

y = - 4 x + 14 5

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