Seja f(x, y) = x^3 - y^2 . Considere as curvas de nível

C_0 = { (x, y) ∈ R^2 | f(x, y) = 0 }

e

C_{-1} = { x, y ∈ R^{2} | f(x, y) = -1 }

f) Encontre apenas um ponto (x₀, y₀) de C_{-1} onde a reta tangente à C_{-1} neste ponto é paralela à reta 2x - y = 1 . Dica: Levem em conta que x = 2 é solução da equação - 9/16 * x^4 + x^3 + 1 = 0 e t = 6 é solução de 2 / 3 * t^(2/3) - 1 / 4 * t^2 = -1.

Passo 1

f) Primeiro, é bom parametrizarmos a reta 2 x - y = 1 , para visualizar mais facilmente seu vetor diretor :) Isolando o y , teremos:

y = 2 x - 1

Usando o x como parâmetro, teremos a reta r t = t , 2 t - 1

Como o vetor diretor da reta é aquele formado pelos coeficientes do parâmetro em cada coordenada, então o vetor diretor dessa reta é o 1,2 , show?

Sabemos que o vetor gradiente é normal à curva de nível, logo, é normal ao vetor tangente à essa curva. Assim, o que querermos é encontrar o ponto no qual o vetor gradiente é paralelo ao vetor normal de 1,2 , então esse será o ponto no qual o vetor tangente é paralelo ao vetor 1,2 !

Para encontrar o vetor normal do vetor 1,2 , basta fazer o produto interno entre eles e igualar a zero.

n → = ( a , b )

Fica assim:

1,2 a , b = 0

a + 2 b = 0

Ajeitando:

a = - 2 b

Então temos:

n → = - 2 b , b

Escolhendo um valor qualquer para b temos:

b = - 1

n → = 2 , - 1

Chegamos então que o vetor gradiente deve ser paralelo ao vetor 2 , - 1

Passo 2

Ok, agora que sabemos que o vetor gradiente deve ser paralelo ao vetor 2 , - 1 , podemos escrever que:

∇ f x , y = λ 2 , - 1

Ou seja, um é múltiplo do outro. Calculando o vetor gradiente da nossa função:

∇ f x 0 , y 0 = 3 x 0 2 , - 2 y 0

3 x 0 2 , - 2 y 0 = λ 2 , - 1

Igualando cada coordenada, temos:

3 x 0 2 = 2 λ

- 2 y 0 = - λ

Da segunda, temos que λ = 2 y 0 . Colocando isso na primeira, teremos:

3 x 0 2 = 2.2 y 0

y 0 = 3 4 x 0 2

Agora, podemos colocar essa relação na equação da curva de nível, e teremos:

x 0 3 - 3 4 x 0 2 2 = - 1

x 0 3 - 9 16 x 0 2 = - 1

E aí você me pergunta, qual é a solução dessa equação?! E eu digo: ainda bem que foi dada no enunciado! Falando sério, zoaram essa questão... nada nem um pouco intuitivo o.O

Mas vamos lá, o enunciado diz que podemos usar que x 0 = 2 é uma solução dessa equação, então a gente acredita. Substituindo-se x 0 = 2 na equação y 0 = 3 4 x 0 2 , teremos:

y 0 = 3 4 2 2 = 3

E, portanto, y 0 = 3 e o ponto pedido é 2,3 !

Ufa! Demorou mas acabou!

Resposta

f) O ponto é 2,3

Exercícios Resolvidos de Reta Tangente no R²

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