Seja . Considere as curvas de nível
e
f) Encontre apenas um ponto de onde a reta tangente à neste ponto é paralela à reta . Dica: Levem em conta que é solução da equação e é solução de
Passo 1
f) Primeiro, é bom parametrizarmos a reta , para visualizar mais facilmente seu vetor diretor :) Isolando o , teremos:
Usando o como parâmetro, teremos a reta
Como o vetor diretor da reta é aquele formado pelos coeficientes do parâmetro em cada coordenada, então o vetor diretor dessa reta é o , show?
Sabemos que o vetor gradiente é normal à curva de nível, logo, é normal ao vetor tangente à essa curva. Assim, o que querermos é encontrar o ponto no qual o vetor gradiente é paralelo ao vetor normal de , então esse será o ponto no qual o vetor tangente é paralelo ao vetor !
Para encontrar o vetor normal do vetor , basta fazer o produto interno entre eles e igualar a zero.
Fica assim:
Ajeitando:
Então temos:
Escolhendo um valor qualquer para temos:
Chegamos então que o vetor gradiente deve ser paralelo ao vetor
Passo 2
Ok, agora que sabemos que o vetor gradiente deve ser paralelo ao vetor , podemos escrever que:
Ou seja, um é múltiplo do outro. Calculando o vetor gradiente da nossa função:
Igualando cada coordenada, temos:
Da segunda, temos que . Colocando isso na primeira, teremos:
Agora, podemos colocar essa relação na equação da curva de nível, e teremos:
E aí você me pergunta, qual é a solução dessa equação?! E eu digo: ainda bem que foi dada no enunciado! Falando sério, zoaram essa questão... nada nem um pouco intuitivo o.O
Mas vamos lá, o enunciado diz que podemos usar que é uma solução dessa equação, então a gente acredita. Substituindo-se na equação , teremos:
E, portanto, e o ponto pedido é !
Ufa! Demorou mas acabou!
Resposta
f) O ponto é