UFRJ, Cálculo 2, P2 2015.2, questão 3
Considere a superfície dada pela equação . Qual curva abaixo é tangente a no ponto ?
- em
- em
- em
- em
- Não sei
Passo 1
Vamos começar ajeitando essa função. Temos:
Passo 2
Beleza. Agora podemos calcular um vetor normal a superfície . Fazemos:
No ponto temos:
Passo 3
Sabemos que para uma curva ser tangente a uma superfície, deve haver duas coisas:
i) Um ponto de tangência, ou seja, tem de existir uma interseção entre a curva e a superfície.
ii) O vetor normal a superfície e o vetor tangente a curva no ponto de tangência, devem ser perpendiculares entre si. Ou seja, o produto escalar entre eles é zero.
Então, vamos verificar nas alternativas qual a curva que satisfaz essas condições.
Passo 4
Começando pela condição i) , a curva tem de estar no ponto , Verificando:
No item a) ok!!!
No item b) ok!!!
No item c) ok!!!
No item d) , logo a alternativa d) não pode ser o gabarito.
Passo 5
Agora é encontrar o vetor tangente as curvas no ponto , e verificar o produto interno dele com o vetor é zero.
Começando pela alternativa c) temos:
Verificando:
Logo, não satisfaz a condição ii)
Testando a alternativa b):
Verificando:
Logo, não satisfaz a condição ii)
Testando a alternativa a) temos:
Verificando:
Como a alternativa a) satisfaz as condições i) e ii) , essa é a resposta correta
Resposta
a) em