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Exercícios Resolvidos de Teorema da Probabilidade Total

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Exercício 71234568910111213141516

Enunciado

USP probabilidade P1 2017

Um aluno faz a P1 de Probabilidade que é composta de testes múltipla escolha. Suponha que para cada teste ele sabe a resposta ou “chuta” e escolhe uma opção aleatoriamente. Suponha ainda que se ele sabe a resposta, a probabilidade da resposta estar correta é 1, e se ele “chuta”, essa probabilidade é 1/5. Para tirar 5,0 ,os alunos precisam responder pelo menos 50% das perguntas corretamente. O aluno "estudou para tirar 5,0", ou seja, ele sabe a resposta de um teste com probabilidade 0,5. Dado que ele responde corretamente um teste, qual é a probabilidade de que ele realmente saiba a resposta?

Passo 1

Fala pessoal. Vamos resolver mais uma para chegar na prova sabendo 100% diferente do nosso amigo do enunciado.

Vamos anotar as informações que nos foram passadas.

  • P s a b e r   =   1 2

  • P c h u t a r   =   1 2

  • P a c e r t a r     s a b e   =   1

  • P a c e r t a r     c h u t o u   =   1 5

Queremos calcular P s a b e r     a c e r t o u

Passo 2

Agora que temos todas as informações necessárias vamos calcular P s a b e r     a c e r t o u .

Note que temos como relaciona P s a b e r     a c e r t o u com P a c e r t o u   s a b e . Para isso usaremos o Teorema de Byes

P A     B   =   P B     A ⋅ P A P B

⇒   P s a b e r a c e r t o u   =   P a c e r t a r     s a b e P s a b e r P a c e r t a r

P a c e r t a r   =   P a c e r t a r     s a b e P s a b e r   +   P a c e r t a r     n ã o   s a b e P n ã o   s a b e r

⇒   P a c e r t a r   =   1 ⋅ 1 2   +   1 2 ⋅ 1 5   =   6 10

Passo 3

Agora podemos finalmente calcular a probabilidade de interesse

⇒   P s a b e r a c e r t o u   =   P a c e r t a r     s a b e P s a b e r P a c e r t a r =   1 ⋅ 1 2 6 10   =   5 6

Resposta

5 6

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