Para competir em uma certa regata as embarcações podem velejar com no máximo 4 tripulantes. Os tripulantes de cada embarcação são inscritos previamente e não podem ser alterados mais tarde. A embarcação Chez Moi, participante da regata, inscreveu Alberto, Bernardo, Carlos e Diogo. Carlos e Diogo confirmaram a presença na regata com probabilidade 100%. A probabilidade de Alberto comparecer à regata é 50%, enquanto que a de Bernardo, é 70%. A decisão de comparecer ou não por parte de Alberto não influencia a decisão de comparecer ou não por parte de Bernardo e vice versa. Note que o fato do número de velejadores no barco poder ser igual a 2, 3 ou 4 caracteriza uma partição do espaço amostral. Com a tripulação completa, a embarcação Chez Moi tem 80% de probabilidade de vencer a regata; com apenas Carlos e Diogo, esta probabilidade cai para 20%; e com três tripulantes a probabilidade de vencer é de 50%. Pede-se calcular a probabilidade de que:

1. pelo menos um dos velejadores, Alberto ou Bernardo, compareçam à regata;
2. a embarcação Chez Moi vença a regata;
3. pelo menos um dos velejadores, Alberto ou Bernardo, tenham comparecido à regata condicionado ao fato de que a embarcação Chez Moi venceu a regata. Compare suas respostas dadas nos itens (a) e (b). A probabilidade aumentou ou diminuiu? Por que?

O exercício nos indica também que e são eventos independentes, então:

Com isso:

Substituindo os valores:

(b)

Chamando de:

A gente precisa calcular .

Existem 4 situações pra participação da regata.

Pra calcular vamos usar o teorema da probabilidade total, levando em consideração as 4 situações discritas.

Se você ler com atenção o enunciado vai perceber que temos todos esses valores, lembrando que e são independentes e que e .

Do enunciado, a gente tira que:

Substituindo os valores:

(c)

Agora a gente tem que calcular .

Vamos usar prob. Condicional aqui.

Sendo que:

E:

É a probabilidade do barco vencer a regata e Bernardo ou Alberto estarem presentes, que foram calculadas como parcelas na hora que a gente calculou a probabilidade total do barco vencer a regata.

Substituindo os valores:

Pra fechar agora falta só justificar o que ele pede! Temos que comparar as probabilidades dos itens (a) e (c). No caso a probabilidade do item (c) foi maior, mas por que isso ocorreu?

Na (a) calculamos a probabilidade de um dos velejadores indecisos ir à regata sem ter nenhuma informação extra.

Na (c), calculamos a probabilidade de um dos velejadores indecisos ir à regata sabendo que a embarcação deles ganhou.

E pelo enunciado, se eles forem na regata, a chance da embarcação ganhar aumenta! Então, sabendo que a embarcação ganhou, a chance deles terem ido à regata é maior! Bem intuitivo né?

Do mesmo jeito, se tivesse uma letra (d) pedindo para calcular a probabilidade deles terem ido à regata sabendo que a embarcação perdeu, essa probabilidade seria menor que a da letra (a)! Porque se a embarcação perdeu é mais provável que eles não tenham ido ;)