Exercícios Resolvidos de Teorema da Probabilidade Total

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Enunciado

Um terreno quadrado de área 9 K m 2 apresenta três tipos de solo: A , B e C , de acordo com a ilustração abaixo. Sabe-se que a chance de uma semente conseguir germinar no solo A é 80 % , no solo B é de 50 % e no solo C é 20%. Além disso, assuma que a probabilidade de que uma semente levada pelo vento até esse terreno caia em cada um dos tipos de solo é proporcional a sua área.

  1. Calcule a probabilidade de que um semente que caia nesse terreno consiga germinar.
  2. Considerando que duas sementes caiam nesse terreno (de forma independente), calcule a probabilidade de que elas caiam em solos tipos diferentes.
  3. Considere agora que as duas sementes caíram no mesmo tipo de solo e que, posteriormente, observou-se que ambas conseguiram germinar. Calcule qual a probabilidade de que o solo em que elas caíram seja do tipo A.

Passo 1

Primeira coisa que precisamos determinar nesse problema é a probabilidade de uma semente cair em cada um desses terrenos. Visto isso podemos criar um mapa ilustratório que nos ajudar a identificar todas as possibilidade/probabilidades.

Por fim não devemos lembrar o Teorema de Bayes, onde

P B i A = P B i ∩ A P A

Não se preocupe caso você não lembre como aplicar o teorema, iremos fazer com cuidado a utilização dele ao longo do problema.

Passo 2

(a) Primeiro vamos olhar pra o nosso terreno e observar que a probabilidade de uma semente cair dele com a ação do vento está relacionado com a área do nosso terreno. Assim seja

P A = á r e a   d e   A á r e a   t o t a l = 1 9 ,     P B = á r e a   d e   B á r e a   t o t a l = 3 9 ,     P C = á r e a   d e   C á r e a   t o t a l = 5 9

Agora que já sabemos a probabilidade de uma semente encontrar cada um dos terrenos, vamos fazer um mapa sobre todas as probabilidades

Onde aqui temos os 3 terrenos e as probabilidades em cada um deles de Germinar(G) e não Germinar (ND).

Agora queremos saber, qual a probabilidade de uma semente cair em qualquer um desses terrenos e ainda Germinar.

Pois bem, queremos saber então

P G = P A ∩ G + P B ∩ G + P C ∩ G

Que são as probabilidade são as probabilidades delas caírem em cada terreno e germinar somadas.

Usando nosso mapa de probabilidade, temos que

P G = P A P A G + P B P B G + P C P ( C | G )

E como sabemos todos os valores, podemos somente calcular, ou seja

P G = 1 9 0.8 + 3 9 0.5 + 5 9 0.2 = 0.3667

Passo 3

(b) Vamos trabalhar na lógica para responder nosso problema. Queremos a probabilidade de duas sementes caírem em dois solos distintos de forma independente. E se a gente calcular a probabilidade delas caírem em solos iguais e tomar que P D = 1 - P ( M ) , onde P ( D ) é a probabilidade de caírem em solos distintos e P ( M ) de cair em solos iguais.

Perceba que nossa tática torna o problema mais fácil de ser resolvido. Isso porque, como são eventos distintos, temos que a probabilidade de cair duas sementes em um mesmo solo é o produto das probabilidades, ou seja, a probabilidade de duas sementes caírem no solo A será

P A 2 = P A ⋅ P ( A )

Assim podemos dizer então que

P M = P A ⋅ P A + P B ⋅ P B + P C ⋅ P ( C )

Que é igual a

P M = 1 9 2 + 3 9 2 + 5 9 2 = 1 + 9 + 25 81 = 35 81

Desta forma podemos dizer então que a probabilidade de duas sementes caírem em solos distinto é de

P D = 1 - 35 81 = 81 - 35 81 = 46 81 ≈ 0.5679

Passo 4

(c) Chegamos no ultimo item precisando usar o que dissemos que iriamos usar né hahah se falamos ...

Supondo que sabemos que duas partículas caíram no mesmo solo e germinaram, qual é a probabilidade de elas serem do solo A ? , pois bem, então definimos que nossa probabilidade é descrita como

P A 2 G 2 , M

Onde G 2 é como iremos denotar quando as duas sementes germinaram e M pos caírem no mesmo solo. Assim pelo Teorema de Bayes, temos que

P A 2 G 2 ,   M = P A 2 G 2 P * A 2 P A 2 G 2 P * A 2 + P B 2 G 2 P * B 2 + P C 2 G 2 P * C 2  

Na qual P * X 2 é a probabilidade de duas sementes caírem no solo X .

Ainda utilizando o Teorema de Bayes iremos fazer o calculo de P * X 2 , assim temos que

P *   A 2 = P A 2 M = P ( A 2 ∩ M ) / P M

é a probabilidade de duas sementes caírem no solo   A sobre a probabilididade de duas sementes caírem sobre o mesmo solo. Sendo assim

P A 2 M = P A 2 ∩ M P M = ( 1 81 ) / ( 35 81 ) = 1 35

P B 2 M = P B 2 ∩ M P M = ( 9 81 ) / ( 35 81 ) = 9 35

e

P C 2 M = P C 2 ∩ M P M = ( 25 81 ) / ( 35 81 ) = 25 35

E por fim, mas não menos importante, na verdade ainda muito importante, a probabilidade de duas sementes germinarem e pertecerem ao mesmo solo, ou seja

P G 2 A 2 = P G A 2 = 8 10 2 = 16 25

Perceba que como são eventos distintos, ou seja, uma semente não depende da outra, vale a regra da multiplicação de probabilidades. Seguindo o mesmo raciocínio pra os outros solos

P G 2 B 2 = P G B 2 = 5 10 2 = 1 4

e

P G 2 C 2 = P G C 2 = 2 10 2 = 1 25

Isso quer dizer que, se duas sementes caírem em um desses solos, essa é a probabilidade de elas ambas conseguirem germinar.

Assim temos elementos para finalizar nosso calculo, ou seja

P A 2 G 2 ,   M = P A 2 G 2 P * A 2 P A 2 G 2 P * A 2 + P B 2 G 2 P * B 2 + P C 2 G 2 P * C 2  

P A 2 G 2 ,   M = 16 25 ⋅ 1 35 16 25 ⋅ 1 35 + 1 4 ⋅ 9 35 + 1 25 ⋅ 25 35 ≈ 0.1645

Meu deus ... que questão. Isso em uma prova é bem triste.

Resposta

  1. P G = 0.3667
  2. P D ≈ 0.5679
  3. P A 2 G 2 ,   M ≈ 0.1645

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