Exercícios Resolvidos de Teorema da Probabilidade Total

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Enunciado

Seja um experimento aleatório que consiste no lançamento de dois dados onde x 1 e x 2 representam, respectivamente, o número inscrito em cada dado. Considere os eventos:

A = { ( x 1 , x 2 ) | x 1 + x 2 = 8 }

B = { ( x 1 , x 2 ) | x 1 = x 2 }

C = { ( x 1 , x 2 ) | x 1 + x 2 = 10 }

D = { ( x 1 , x 2 ) | x 1 > x 2 }

Pede-se:

I)Os resultados dos eventos acima indicados.

II)As probabilidades:

  1. P A B
  2. P C D
  3. P A D
  4. P A B ∩ C
  5. P A ∩ B C ∩ D

Passo 1

I)

Começando pelo evento A :

A = { ( x 1 , x 2 ) | x 1 + x 2 = 8 }

Ou seja, A é o evento que acontece quando a soma dos dois números sorteados nos dados é 8. Como um dado vai de 1 a 6, temos que listar todas as duplas de números nesse intervalo que, somados, dão 8:

2 ; 6

( 3 ; 5 )

4 ; 4

( 5 ; 3 )

( 6 ; 2 )

Então A = { 2 ; 6 , 3 ; 5 , 4 ; 4 , 5 ; 3 , ( 6 ; 2 ) }

Passo 2

Agora o evento B :

B = { ( x 1 , x 2 ) | x 1 = x 2 }

Resultados iguais nos dois dados! Então vamos listar todas as duplas de resultados possíveis em que os dois números inscritos nos dados são iguais:

1 ; 1

( 2 ; 2 )

3 ; 3

( 4 ; 4 )

( 5 ; 5 )

6 ; 6

Então B = { 1 ; 1 , 2 ; 2 , 3 ; 3 , 4 ; 4 , 5 ; 5 , ( 6 ; 6 ) }

Passo 3

Olhando pro nosso evento C agora:

C = { ( x 1 , x 2 ) | x 1 + x 2 = 10 }

Resultados onde a soma dos dois dados dá 10! Listando as possíveis duplas:

4 ; 6

( 5 ; 5 )

( 6 ; 4 )

Então C = { 4 ; 6 , ( 5 ; 5 ) , ( 6 ; 4 ) }

Passo 4

E finalmente o evento D :

D = { ( x 1 , x 2 ) | x 1 > x 2 }

Ou seja, resultados onde o primeiro dado tem um valor superior ao do segundo dado. Vamos listar essa galera:

2,1

( 3,1 )

4 ; 1

( 5 ; 1 )

( 6 ; 1 )

( 3,2 )

4 ; 2

( 5 ; 2 )

( 6 ; 2 )

4 ; 3

( 5 ; 3 )

( 6 ; 3 )

( 5 ; 4 )

( 6 ; 4 )

( 6 ; 5 )

Ufa! Foi todo mundo!

Então

D = { 2,1 , 3,1 , 4 ; 1 , 5 ; 1 , 6 ; 1 , 3,2 , 4 ; 2 , 5 ; 2 , 6 ; 2 , 4 ; 3 , 5 ; 3 , 6 ; 3 , 5 ; 4 , 6 ; 4 , 6 ; 5 }

Passo 5

Opa! Condicionais! Relembrando a fórmula:

P X Y = P X ∩ Y P Y

Vamos calcular primeiro as probabilidades de cada um desses eventos acontecerem sozinhos. Daquele jeitão clássico:

E para isso, vamos precisar saber o tamanho do nosso espaço amostral, ou seja, temos que saber quantos resultados possíveis podemos obter no lançamento de dois dados. Como cada dado tem 6 faces:

# ( Ω ) = 6 × 6 = 36   r e s u l t a d o s   t o t a i s

Lembrando que sabemos o número de resultados favoráveis para cada evento, pois já listamos quem são esses eventos! O número de resultados favoráveis vai ser, então, o número de dupla dentro de cada evento.

Calculando as probabilidades individuais:

P A = # ( A ) # Ω = 5 36

P B = # ( B ) # Ω = 6 36

P C = # ( C ) # Ω = 3 36

P D = # ( D ) # Ω = 15 36

Passo 6

Finalmente, vamos às nossas condicionais!

a)

P A B = P A ∩ B P B

A interseção entre A e B vai ser justamente os resultados que aparecem nos dois eventos. Relembrando nossos eventos A e B :

A = { 2 ; 6 , 3 ; 5 , 4 ; 4 , 5 ; 3 , 6 ; 2 }

B = { 1 ; 1 , 2 ; 2 , 3 ; 3 , 4 ; 4 , 5 ; 5 , 6 ; 6 }

Então A ∩ B = { 4 ; 4 } . E a probabilidade dessa interseção acontecer:

P A ∩ B = # ( A ∩ B ) # Ω = 1 36

Voltando a condicional:

P A B = P A ∩ B P B = 1 36 6 36 = 1 6

Passo 7

b)

P C D = P C ∩ D P D

Relembrando nossos eventos C e D :

C = { 4 ; 6 , 5 ; 5 , ( 6 ; 4 ) }

D = { 2,1 , 3,1 , 4 ; 1 , 5 ; 1 , 6 ; 1 , 3,2 , 4 ; 2 , 5 ; 2 , 6 ; 2 , 4 ; 3 , 5 ; 3 , 6 ; 3 , 5 ; 4 , 6 ; 4 , 6 ; 5 }

Então C ∩ D = { 6 ; 4 } . E a probabilidade dessa interseção acontecer:

P C ∩ D = # ( C ∩ D ) # Ω = 1 36

Voltando a condicional:

P C D = P C ∩ D P D = 1 36 15 36 = 1 15

Passo 8

c)

P A D = P A ∩ D P D

Relembrando nossos eventos A e D :

A = { 2 ; 6 , 3 ; 5 , 4 ; 4 , 5 ; 3 , 6 ; 2 }

D = { 2,1 , 3,1 , 4 ; 1 , 5 ; 1 , 6 ; 1 , 3,2 , 4 ; 2 , 5 ; 2 , 6 ; 2 , 4 ; 3 , 5 ; 3 , 6 ; 3 , 5 ; 4 , 6 ; 4 , 6 ; 5 }

Então A ∩ D = { 5 ; 3 , ( 6,2 ) } . E a probabilidade dessa interseção acontecer:

P A ∩ D = # ( C ∩ D ) # Ω = 2 36

Voltando a condicional:

P A D = P A ∩ D P D = 2 36 15 36 = 2 15

Passo 9

d)

P A B ∩ C = P A ∩ B ∩ C P B ∩ C

Relembrando nossos eventos A , B e C :

A = { 2 ; 6 , 3 ; 5 , 4 ; 4 , 5 ; 3 , 6 ; 2 }

B = { 1 ; 1 , 2 ; 2 , 3 ; 3 , 4 ; 4 , 5 ; 5 , 6 ; 6 }

C = { 4 ; 6 , 5 ; 5 , ( 6 ; 4 ) }

Então A ∩ B ∩ C = ∅ e B ∩ C = { 5 ; 5 } . Opa, se A ∩ B ∩ C é um conjunto fazio, sua probabilidade vai ser vazia e a condicional toda vai zerar! Então já podemos afirmar que:

P A B ∩ C = 0

Passo 10

e)

P A ∩ B C ∩ D = P A ∩ B ∩ C ∩ D P C ∩ D

Relembrando todos os nossos eventos:

A = { 2 ; 6 , 3 ; 5 , 4 ; 4 , 5 ; 3 , 6 ; 2 }

B = { 1 ; 1 , 2 ; 2 , 3 ; 3 , 4 ; 4 , 5 ; 5 , 6 ; 6 }

C = { 4 ; 6 , 5 ; 5 , ( 6 ; 4 ) }

D = { 2,1 , 3,1 , 4 ; 1 , 5 ; 1 , 6 ; 1 , 3,2 , 4 ; 2 , 5 ; 2 , 6 ; 2 , 4 ; 3 , 5 ; 3 , 6 ; 3 , 5 ; 4 , 6 ; 4 , 6 ; 5 }

De novo, vamos ter nossa probabilidade do numerador da condicional zerada, por que aquele conjunto é vazio! Show de bola, menos cálculo pra gente fazer:

P A ∩ B C ∩ D = 0

Resposta

I)

A = { 2 ; 6 , 3 ; 5 , 4 ; 4 , 5 ; 3 , 6 ; 2 }

B = { 1 ; 1 , 2 ; 2 , 3 ; 3 , 4 ; 4 , 5 ; 5 , 6 ; 6 }

C = { 4 ; 6 , 5 ; 5 , ( 6 ; 4 ) }

D = { 2,1 , 3,1 , 4 ; 1 , 5 ; 1 , 6 ; 1 , 3,2 , 4 ; 2 , 5 ; 2 , 6 ; 2 , 4 ; 3 , 5 ; 3 , 6 ; 3 , 5 ; 4 , 6 ; 4 , 6 ; 5 }

II)

P A B = 1 6

P C D = 1 15

P A D = 2 15

P A B ∩ C = 0

P A ∩ B C ∩ D = 0

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