Exercícios Resolvidos de Teorema de Laplace

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Enunciado

Calcule o determinante da matriz abaixo:

1 1 - 1 1 2 2 2 - 2 0 1 0 0 2 - 2 2 1

(a) 28

(b) - 12

(c) 7

(d) - 4

Passo 1

Bom, tenho uma matriz 4 × 4 com uma coluna com vários zeros, isso nos indica que o melhor jeito de resolver é pelo Teorema de Laplace:

Vou escolher a terceira coluna, temos que multiplicar cada elemento dessa coluna pelo seu cofactor:

det ⁡ A = 0 × Δ 13 + 1 × Δ 23 + 0 × Δ 33 + 0 × Δ 43 = Δ 23

Agora é só calcular esse cofator!

Passo 2

O cofator Δ 23 vai ser o determinante da matriz A sem a 2 a linha e a 3 a coluna, multiplicado pelo termo - 1 i + j = - 1 2 + 3 = - 1 5 = - 1 .

Δ 23 = - 1 1 2 2 - 1 2 2 1 - 2 1 = 2 + 4 + 4 - 4 + 2 + 4 = - 12

Assim,   det ⁡ A = - 12 .

Resposta

b

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Calcule os cofatores de cada um dos termos da matriz A = 1 2 1 0 1 2 2 3 1
Calcular o cofator do elemento x da matrizA = ([[[[[[0,1]],[[0,3]]]]],[[[[[1,2]],[[1,1]]]]],[[[[[2,1]],[[0,0]]]]],[[[[[3,x]],[[2,1]]]]]])
Desenvolva pela primeira coluna det ⁡ A = ∑ i = 1 3 a i 1 A i 1 e depois calcule o determinante da matriz 3 4 0 1 1 0 2 0 2
Repetir o exercício 3 com a matriz([[2,1,3,0],[1,2,1,0],[0,0,2,1],[3,1,1,4]])
Sejam A , B e C matrizes de ordem 2 e seja X = A C 0 B De ordem 4. Provar que det ⁡ X = det ⁡ A det ⁡ B . Este resultado vale para A , B , C ∈ M n R .