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Exercícios Resolvidos de Teorema de Laplace

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Exercício 8123456791011121314

Enunciado

Considere a matriz A = 1 2 1 0 2 0 0 1 0 2 1 0 2 - 1 0 1 .

a) Calcule d e t ⁡ ( A ) .

b) A matriz A é inversível? Se sim, encontre a sua inversa.

Passo 1

a) Nesse exercício a gente quer calcular o determinante de uma matriz 4 x 4 . Lembra que nesse caso a gente utiliza o método de Laplace? Então vamo lá!

Podemos fazer a expansão de Laplace pela segunda linha, isso vai nos dar o seguinte:

det ⁡ A = - 2 d e t 2 1 0 2 1 0 - 1 0 1 + 1 d e t 1 2 1 0 2 1 2 - 1 0

Passo 2

Opa, olha só, a matriz 2 1 0 2 1 0 - 1 0 1 possui duas linhas iguais, então, como a gente viu lá na teoria, o determinante dela vai ser 0 :D

Então agora só falta calcular o determinante da segunda matriz utilizando o método de Sarrus:

1 2 1 0 2 1 2 - 1 0 1 2 0 2 2 - 1 = 4 - 4 + 1 = 1

Passo 3

Agora vamos substituir tudo naquela expressão do passo 1

det ⁡ A = - 2 × 0 + 1 × 1

det ⁡ A = 1

Passo 4

b) A gente sabe que a condição pra uma matriz ser inversível é que o determinante dela não seja 0 certo? O que é o caso da nossa matriz A :P Então ela é inversível simm!!

Vamo calcular a inversa dela usando o método de Gauss-Jordan:

1 2 1 0 2 0 0 1 0 2 1 0 2 - 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Fazendo L 1 → L 1 - L 3 teremos:

1 0 0 0 2 0 0 1 0 2 1 0 2 - 1 0 1 1 0 - 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Agora vamos fazer L 2 → L 2 - L 4

1 0 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 2 - 1 0 1 1 0 - 1 0 0 1 0 - 1 0 0 1 0 0 0 0 1

Estamos chegando lá. Agora vamos fazer L 3 → L 3 - 2 L 2

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 - 1 0 1 1 0 - 1 0 0 1 0 - 1 0 - 2 1 2 0 0 0 1

Agora, L 4 → L 4 - 2 L 1

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 - 1 0 1 1 0 - 1 0 0 1 0 - 1 0 - 2 1 2 - 2 0 2 1

E finalmente, L 4 → L 4 + L 2

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 - 1 0 0 1 0 - 1 0 - 2 1 2 - 2 1 2 0

Então a gente tem que

A - 1 = 1 0 - 1 0 0 1 0 - 1 0 - 2 1 2 - 2 1 2 0

Resposta

a) det ⁡ A = 1

b) Sim, é inversível.

A - 1 = 1 0 - 1 0 0 1 0 - 1 0 - 2 1 2 - 2 1 2 0

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