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Exercícios Resolvidos de Teorema de Laplace

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Exercício 1312345678910111214

Enunciado

UFPE, PF-2019.2

Considere a matriz

A = 1 t - 1 1 1 0 0 1 t - 1 0 1 - 2 0 1 0

  1. Para que valores de t a matriz A é invertível?
  2. Determine A - 1 para t = 0 .

Passo 1

Show de bolinhas galera, na letra (a), pra gente garantir que a matriz A é invertível, precisamos ter certeza que o determinante dela é diferente de 0 :

det ⁡ A ≠ 0

Logo:

det ⁡ 1 t - 1 1 1 0 0 1 t - 1 0 1 - 2 0 1 0 ≠ 0

E para calcular esse determinante, podemos aplicar Laplace, primeiro em relação a segunda linha:

Tal que:

det ⁡ 1 t - 1 1 1 0 0 1 t - 1 0 1 - 2 0 1 0 = det ⁡ - 1 2 + 1 t - 1 1 - 1 0 1 0 1 0 + det ⁡ - 1 2 + 4 1 t - 1 t - 1 0 - 2 0 1

det ⁡ 1 t - 1 1 1 0 0 1 t - 1 0 1 - 2 0 1 0 = det ⁡ 1 t - 1 t - 1 0 - 2 0 1 - det ⁡ t - 1 1 - 1 0 1 0 1 0

E aplicando Regra de Sarrus para os determinantes 3 × 3 , obtemos:

det ⁡ 1 t - 1 1 1 0 0 1 t - 1 0 1 - 2 0 1 0 = - t 2 + 1 - - t - 1

det ⁡ 1 t - 1 1 1 0 0 1 t - 1 0 1 - 2 0 1 0 = - t 2 + t + 2

Logo os valores de t que fizerem esse determinante ser igual a 0 , farão com que matriz NÃO SEJA INVERTÍVEL.

- t 2 + t + 2 = 0

- t - 2 t + 1 = 0

t = 2 ,     t = - 1

Portanto para t ≠ 2 e t ≠ - 1 , a matriz A é invertível.

Passo 2

Belezoca de motoca galerinha, na letra (b), pra calcular a inversa de uma matriz, usamos um algoritmo parecido com o de escalonamento, só que dessa vez colocamos a matriz A lado a lado com uma matriz identidade, desse jeito:

1 t - 1 1 1 0 0 1 t - 1 0 1 - 2 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Então para t = 0 , temos que:

1 0 - 1 1 1 0 0 1 0 - 1 0 1 - 2 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Agora, o segredo é a gente escalonar a matriz A até ela se tornar a matriz a identidade, só que as operações que a gente fizer na matriz A a gente faz simultaneamente na matriz identidade que está do lado dela, saca só, escalonando primeiro termo da segunda linha, podemos fazer a segunda linha menos duas vezes a primeira, desse jeito:

1 0 - 1 1 1 0 0 1 0 - 1 0 1 - 2 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⇒   L 2 = L 2 - L 1       = 1 0 - 1 1 0 0 1 0 0 - 1 0 1 - 2 0 1 0 1 0 0 0 - 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

1 0 - 1 1 0 0 1 0 0 - 1 0 1 - 2 0 1 0 1 0 0 0 - 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⇒         L 4 = L 4 + 2 L 1 = 1 0 - 1 1 0 0 1 0 0 - 1 0 1 0 0 - 1 2 1 0 0 0 - 1 1 0 0 0 0 1 0 2 0 0 1

Se a gente trocar a terceira linha com a segunda, teremos que:

1 0 - 1 1 0 0 1 0 0 - 1 0 1 0 0 - 1 2 1 0 0 0 - 1 1 0 0 0 0 1 0 2 0 0 1 ⇒ L 2 ↔ L 3   = 1 0 - 1 1 0 - 1 0 1 0 0 1 0 0 0 - 1 2 1 0 0 0 0 0 1 0 - 1 1 0 0 2 0 0 1

E continuando o escalonamento:

1 0 - 1 1 0 - 1 0 1 0 0 1 0 0 0 - 1 2 1 0 0 0 0 0 1 0 - 1 1 0 0 2 0 0 1 ⇒         L 4 = L 4 + L 3 = 1 0 - 1 1 0 - 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 1 0 - 1 1 0 0 1 1 0 1

1 0 - 1 1 0 - 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 1 0 - 1 1 0 0 1 1 0 1 ⇒   L 2 = - L 2       L 4 = 1 / 2 ( L 4 ) = 1 0 - 1 1 0 1 0 - 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 - 1 0 - 1 1 0 0 1 2 1 2 0 1 2

1 0 - 1 1 0 1 0 - 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 - 1 0 - 1 1 0 0 1 2 1 2 0 1 2 ⇒   L 2 = L 2 + L 4         = 1 0 - 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 2 1 2 - 1 1 2 - 1 1 0 0 1 2 1 2 0 1 2

Agora finalizando para a primeira linha, temos:

1 0 - 1 1 0 1 0 - 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 - 1 0 - 1 1 0 0 1 2 1 2 0 1 2 ⇒   L 2 = L 2 + L 4         = 1 0 - 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 2 1 2 - 1 1 2 - 1 1 0 0 1 2 1 2 0 1 2

1 0 - 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 2 1 2 - 1 1 2 - 1 1 0 0 1 2 1 2 0 1 2 ⇒ L 1 = L 1 - L 4             = 1 0 - 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 2 - 1 2 0 - 1 2 1 2 1 2 - 1 1 2 - 1 1 0 0 1 2 1 2 0 1 2

1 0 - 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 2 - 1 2 0 - 1 2 1 2 1 2 - 1 1 2 - 1 1 0 0 1 2 1 2 0 1 2 ⇒ L 1 = L 1 + L 3             = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 - 1 2 1 2 0 - 1 2 1 2 1 2 - 1 1 2 - 1 1 0 0 1 2 1 2 0 1 2

Viu só, a operação que a gente fez na matriz A , a gente também faz na identidade. Como se fossem uma matriz só!! Então a matriz inversa de A é exatamente a que está no lugar da identidade:

A - 1 - 1 2 1 2 0 - 1 2 1 2 1 2 - 1 1 2 - 1 1 0 0 1 2 1 2 0 1 2

Resposta

  1. para   t ≠ 2   e   t ≠ - 1 ,   a matriz   A   é invertível .
  2. A - 1 - 1 2 1 2 0 - 1 2 1 2 1 2 - 1 1 2 - 1 1 0 0 1 2 1 2 0 1 2 .

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