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Exercícios Resolvidos de Teorema de Laplace

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Exercício 5123467891011121314

Enunciado

Considere a matriz   1 2 0 1       2 3 3 2       0 - 1 2 1       1 1 - 1 k .

a) Para que valores de k a matriz é inversível?

Passo 1

Para saber se uma matriz é inversível, conferimos o valor do seu determinante, se ele for diferente de zero quer dizer que essa matriz possui inversa.

Então vamos calcular o determinante dessa matriz, como é 4 × 4 , o jeito é usar o Teorema de Laplace. Vou escolher a terceira coluna porque ela está me parecendo mais fácil! O determinante vai ser igual a:

0 × ∆ 13 + - 1 × ∆ 23 + 2 × ∆ 33 + 1 × ∆ 43

Calculando os cofatores (começando pelo ∆ 23 , pois ∆ 13 está sendo multiplicado por zero):

∆ 23 = ( - 1 ) 2 + 3 1 2 1 0 3 - 1 1 2 k = - 3 k - 2 - 3 + 2 = 3 - 3 k

∆ 33 = - 1 3 + 3 1 2 1 2 3 1 1 2 k = 3 k + 2 + 4 - 3 - 2 - 4 k = 1 - k

∆ 43 = ( - 1 ) 4 + 3 1 2 1 2 3 1 0 3 - 1 = - - 3 + 6 - 3 + 4 = - 4

Botando na formula:

- 1 × 3 - 3 k + 2 × 1 - k + 1 × - 4 = - 3 + 3 k + 2 - 2 k - 4 = k - 5

Passo 2

Ok, achamos o determinante, agora queremos que ele seja diferente de zero certo? Para que a matriz seja inversível, logo:

k - 5 ≠ 0 ⟹ k ≠ 5

Resposta

k ≠ 5

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