Exercícios Resolvidos de Teorema de Laplace

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Enunciado

b) Calcule o determinante da matriz B   = 1 2 - 1 3 1 - 1 - 1 2 1 4 1 1 1 2 0 3

Passo 1

Temos que calcular o determinante de uma matriz 4   ×   4 , vamos usar o Teorema de Laplace.

Vamos lembrar como utilizamos ele! Primeiro tenho que escolher uma linha ou coluna, de preferência a que tem mais zeros pra ficar mais fácil. Vou escolher, então, a terceira linha!

Agora é só aplicar o teorema:

Temos que multiplicar cada elemento dessa linha pelo seu cofator.

Assim:

det ⁡ B = - 1 × Δ 31 + - 1 × Δ 32 + 1 × Δ 33

Agora é só calcular esses cofatores:

Passo 2

O cofator Δ 31 vai ser o determinante da matriz B sem a 3 a linha e a 1 a coluna, multiplicado pelo termo - 1 i + j = - 1 1 + 3 = - 1 4

Δ 31 = - 1 4 1 1 1 - 1 4 2 2 1 3 = 12 + 4 - 1 - 8 + 3 - 2 = 8

Agora vamos fazer o mesmo para achar os outros cofatores:

Δ 32 = - 1 3 + 2 1 1 1 2 4 2 3 1 3 = 12 + 6 + 2 - 12 - 6 - 2 = 0

Δ 33 = - 1 3 + 3 1 1 1 2 - 1 2 3 2 3 = - 3 + 6 + 4 + 3 - 6 - 4 = 0

Passo 3

Por fim, vamos substituir:

det ⁡ B = - 1 × 8 + - 1 × 0 + 1 × 0 = - 8

Passo 4

Resposta

- 8

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