Exercícios Resolvidos de Teorema de Laplace

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Enunciado

Calcule o determinante da matriz B .

B = 1 0 5 0 2 - 1 0 3 3 0 2 0 7 0 6 5

Passo 1

O primeiro passo é perceber que essa matriz possui um número considerável de zeros, então vale a pena usar o Teorema de Laplace.

Agora, qual fila tem mais zeros?

Se você olhar direito, a fileira com mais zeros é a 2ª coluna, e é nela que vamos aplicar o Teorema.

Passo 2

Vamos calcular!

Temos que multiplicar cada elemento pelo seu cofator.

Assim:

det ⁡ B = 0 × Δ 12 + - 1 × Δ 22 + 0 × Δ 32 + 0 × Δ 42

det ⁡ B = - Δ 22

A matriz B 22 , retirando a segunda linha e a segunda coluna, fica assim:

B 22 = 1 5 0 3 2 0 7 6 5

Passo 3

O cofator fica:

Δ 22 = - 1 2 + 2 1 5 0 3 2 0 7 6 5 = + 1 5 0 3 2 0 7 6 5

Assim:

det ⁡ B = - Δ 22 = - 1 5 0 3 2 0 7 6 5

Passo 4

Agora é só calcular esse determinante 3 × 3 !

Posso fazer a regra de Sarrus... mas nesse caso, o jeito mais prático é usar mais uma vez o Teorema de Laplace, já que a 3 ª coluna desse determinante é cheia de zeros.

Não precisamos dos cofatores dos elementos que estão com zeros, apenas do elemento da 3 ª linha e da 3 ª coluna.

Δ 33 = - 1 3 + 3 1 5 3 2 = + 1 5 3 2 = + 1 × 2 - 3 × 5 = - 13

O determinante dessa matriz 3 × 3 é o cofator vezes o elemento, 5 × - 13 = - 65 .

Isso nos dá:

det ⁡ B = - 1 5 0 3 2 0 7 6 5 = - - 65 = + 65

Resposta

det ⁡ B = 65 .

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