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Exercícios Resolvidos de Teorema de Laplace

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Exercício 1112345678910121314

Enunciado

USP, PSUB, 2018, Q14

A soma das raízes do polinômio

t 1 1 1 1 t - 2 - 2 - 2 - 2 t 4 4 4 4 t

É igual a:

a )   2

b )   0

c )   8

d )   16

e )   4

Passo 1

Falaaa, blz?? Bom, essa questão não tem muito o que faze, né? Ela ta pedindo para gente calcular o determinante e ver quais são as raízes dele. Bora usar o método de Laplace para calcular esse determinante:

t 1 1 1 1 t - 2 - 2 - 2 - 2 t 4 4 4 4 t =

=   t t - 2 - 2 - 2 t 4 4 4 t - 1 1 1 - 2 t 4 4 4 t - 2 1 1 1 t - 2 - 2 4 4 t - 4 1 1 1 t - 2 - 2 - 2 t 4

Passo 2

Agora, vamos simplesmente calcular cada um desses determinantes.

t - 2 - 2 - 2 t 4 4 4 t = t 3 - 12 t - 16

1 1 1 - 2 t 4 4 4 t = t 2 - 2 t - 8

1 1 1 t - 2 - 2 4 4 t =   - t 2 + 2 t + 8

1 1 1 t - 2 - 2 - 2 t 4 = t 2 - 2 t - 8

Passo 3

Basta substituir os valores de cada determinante e calcular as raízes:

t t - 2 - 2 - 2 t 4 4 4 t - 1 1 1 - 2 t 4 4 4 t - 2 1 1 1 t - 2 - 2 4 4 t - 4 1 1 1 t - 2 - 2 - 2 t 4 =

=   t t 3 - 12 t - 16 - t 2 - 2 t - 8 - 2 - t 2 + 2 t + 8 - 4 ( t 2 - 2 t - 8 )

= t 4 + t 2 - 12 - 1 + 2 - 4 + t - 16 ∓ 2 - 4 + 8 + 8 - 16 + 32

= t 4 + t 2 - 15 + t - 10 + 24

Agora, usando propriedade de polinômios(Relações de Girard), se temos um polinômio do quarto grau, do tipo:

a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e

Podemos afirmar que a soma das raízes será - b a

No caso do nosso polinômio ( t 4 + t 2 - 15 + t - 10 + 24 ) , temos b=0, logo a soma será zero

Ainda bem que dá para usar relações de Girard nesse final, senão teríamos bem mais trabalho. Bora para próxima questãozinha?

Resposta

Letra B

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Repetir o exercício 3 com a matriz([[2,1,3,0],[1,2,1,0],[0,0,2,1],[3,1,1,4]])
Sejam A , B e C matrizes de ordem 2 e seja X = A C 0 B De ordem 4. Provar que det ⁡ X = det ⁡ A det ⁡ B . Este resultado vale para A , B , C ∈ M n R .