Calcule onde
Passo 1
Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido.
Então, nós temos um esboço parecido com a figura abaixo.
A região do problema é aquela que está dentro do elipsoide e abaixo do cone contida no primeiro octante.
Passo 2
Como a região é limitada por um elipsoide, vamos utilizar coordenadas esféricas com os coeficientes do elipsoide:
Passo 3
Precisamos escrever matematicamente a região de integração. Vamos ver primeiro a variação de :
Assim, temos que a variação de é:
Passo 4
O ângulo , como vemos pela figura, varia desde a superfície do cone até (lembre-se de que a região está no primeiro octante. Então, vamos fazer a mudança esférica no cone:
Assim, a variação de é:
Passo 5
Já que temos de volta em torno do eixo , (lembra que nossa região se limita ao primeiro octante). Isso nos dá:
Passo 6
Vamos agora fazer a substituição esférica na integral:
Passo 7
Agora vamos integrar em relação a :
Passo 8
Agora em relação a :
Finalmente: