Exercícios Resolvidos de Ângulos entre Retas

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Enunciado

Ache a medida em radianos do ângulo entre as retas r : X = 1 ,   1 ,   9 + λ ( 0 ,   1 ,   - 1 ) e

s :   x - 1 = y z = 4

Passo 1

Temos do enunciado a equação vetorial da reta r e as equações reduzidas da reta s . Com esses dados devemos encontrar o ângulo entre as retas.

Como vimos na teoria, a fórmula para encontrar o ângulo precisa do vetor diretor de cada reta. Então, vamos encontrar primeiro o vetor diretor de cada reta!!

Passo 2

Para encontrar o vetor diretor da reta r não tem muito segredo. Pois, como nos foi dada a equação vetorial da reta sabemos que:

r → = ( 0 ,   1 ,   - 1 )

Já para a reta s não é tão direto assim! Como nos foram dadas as equações reduzidas da reta em função de x podemos escrever que os pontos pertencentes à reta s são da seguinte forma:

x ,   y ,   z = ( x ,   x - 1 ,   4 )

Assim, se encontrarmos dois pontos da reta s conseguimos formar seu vetor diretor:

x = 0 → A = ( 0 ,   - 1 ,   4 )

x = 1 → B = ( 1 ,   0 ,   4 )

Assim,

s → = A B → = B - A = 1 ,   0 ,   4 - 0 ,   - 1 ,   4 = ( 1 ,   1 ,   0 )

Passo 3

Agora,que temos r → = ( 0 ,   1 ,   - 1 ) e s → = ( 1 ,   1 ,   0 ) , é colocar na fórmula:

cos ⁡ θ = r → ∙ s → r → | s → |

O numerador é o módulo do produto interno, que é:

r → ∙ s → = | 0 ,   1 ,   - 1 ∙ 1 ,   1 ,   0 | = | 0 + 1 + 0 | = 1

O denominador é ao produto entre os módulos dos vetores. Vamos calcular os módulos separados:

r → = 1 2 + ( - 1 ) 2 = 2

s → = 1 2 + 1 2 = 2

Agora que temos tudinho calculado só colocar na fórmula:

cos ⁡ θ = r → ∙ s → r → | s → | = 1 2 2 = 1 2 → cos ⁡ θ = 1 2

cos ⁡ θ = 1 2 →   θ = 60 °

Mas, essa ainda não é a resposta!! O problema quer o resultado em radianos!! Então:

θ = π 3   r a d

Resposta

θ = π 3   r a d

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