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Exercícios Resolvidos de Ângulos entre Retas

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Exercício 6123457891011121314

Enunciado

Ache a reta que passa pelo ponto ( 1 ,   - 2 ,   3 ) e que forma ângulos de 45 ° e 60 ° respectivamente com o eixo dos x e dos y .

Passo 1

Queremos achar a reta que passa pelo ponto ( 1 ,   - 2 ,   3 ) . Além disso, temos mais duas informações para nos ajudar a achar a reta: a reta forma 45 ° com o eixo x E Forma 60 ° com o eixo y . Sabemos que a fórmula do ângulo entre retas é:

cos ⁡ θ = r → ∙ s → r → | s → |

Por meio dela vamos achar nossa reta.

Passo 2

Vamos começar pelo eixo x . Precisamos do vetor diretor da reta que queremos descobrir e do eixo x . O vetor da nossa reta que queremos descobrir diremos que é r → = ( x ,   y ,   z ) . Um vetor possível para o eixo x é o vetor s → = ( 1 ,   0 ,   0 ) . E sabendo que θ = 45 ° ,conseguimos calcular a primeira relação:

cos ⁡ 45 ° = 2 2

r → ∙ s → = x ,   y ,   z ∙ 1 ,   0 ,   0 = | x |

r → = x 2 + y 2 + z 2

s → = 1 2 = 1

Colocando na fórmula:

cos ⁡ θ = r → ∙ s → r → | s → | → 2 2 = x x 2 + y 2 + z 2

Elevando os dois membros ao quadrado:

2 x 2 + y 2 + z 2 = 4 x 2

Nossa primeira relação será:

2 x 2 - 2 y 2 - 2 z 2 = 0

Passo 3

Fazendo o mesmo procedimento para o eixo y ,teremos:

r → = ( x ,   y ,   z )

s → = ( 0 ,   1 ,   0 )

θ = 60 °

Calculando o cos ⁡ 60 ° , o produto interno e os módulos:

cos ⁡ 60 ° = 1 2

r → ∙ s → = x ,   y ,   z ∙ 0 ,   1 ,   0 = | y |

r → = x 2 + y 2 + z 2

s → = 1 2 = 1

Colocando na fórmula:

cos ⁡ θ = r → ∙ s → r → | s → | → 1 2 = y x 2 + y 2 + z 2

Elevando os dois membros ao quadrado:

x 2 + y 2 + z 2 = 4 y 2

Nossa segunda relação será:

x 2 - 3 y 2 + z 2 = 0

Passo 4

Chegamos em um sistema com duas equações:

x 2 - 3 y 2 + z 2 = 0                   ( 1 ) 2 x 2 - 2 y 2 - 2 z 2 = 0         ( 2 )    

Multiplicando a equação ( 1 ) por - 2 e somando na ( 2 ) ,temos:

4 y 2 - 4 z 2 = 0 → y = ± z

Substituindo y = ± z na equação ( 1 ) :

x 2 - 2 z 2 = 0 → x = ± 2 z

Com essas relações temos que nosso vetor diretor é:

r → = ± 2 z ,   ± z ,   z

S e   z = 1 →   r → = ± 2 ,   ± 1 ,   1

Como temos 4 possibilidades para r → isso significa que temos 4 retas diferentes, que possuem equações simétricas da seguinte forma, sendo P = ( 1 ,   - 2 ,   3 ) :

x - 1 ±   2 = y + 2 ± 1 = z - 3 1

Resposta

x - 1 ±   2 = y + 2 ± 1 = z - 3 1

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