Exercícios Resolvidos de Ângulos entre Retas

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Enunciado

Calcular o valor de n para que seja de 30 ° o ângulo que a reta

r : y = n x + 5 z = 2 x - 3

Forma com o eixo dos y .

Passo 1

Uhhh, se você não sabe muito bem como começar esse exercício, comece olhando para fórmula e veja o que precisa!

cos ⁡ θ = r 1 → ∙ r 2 → r → 1 r 2 →

Nós precisamos de dois vetores diretores e só!

Para facilitar a visualização, vou passar a equação da reta para forma paramétrica, fazendo:

x = t

Então,

r : x = t y = 5 + n t z = - 3 + 2 t

Com isso, tiramos:

r → = 1 ,   n ,   2

Precisamos de um vetor diretor para o eixo y também.

Como o vetor diretor indica o sentido da reta e é paralelo a ela, um possível vetor para o eixo y é:

y → = ( 0 ,   1 ,   0 )

Passo 2

Agora que já descobrimos todas as informações, podemos calcular o produto escalar!

r → ∙ y → = 1 , n , 2 ∙ 0 ,   1 ,   0

r → ∙ y → = 1 × 0 + n × 1 + 2 × 0 = n

Agora vamos calcular os módulos!

r → = 1 2 + n 2 + 2 2 = 5 + n 2    

y → = 0 2 + 1 2 + 0 2 = 1

O enunciado nos disse que θ = 30 ° e cos ⁡ 30 ° = 3 2

Substituindo os valores na fórmula,

cos ⁡ θ = r → 1 ∙ r 2 → r → 1 | r 2 → |

3 2 = n 5 + n 2 × 1

3 2 = n 5 + n 2

Elevando os dois lados ao quadrado (para eliminar as raízes)

3 4 = n 2 5 + n 2

3 5 + n 2 = 4 n 2

15 + 3 n 2 = 4 n 2

n 2 = 15

n = ± 15

Resposta

n = ± 15

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