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Exercícios Resolvidos de Ângulos entre Retas

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Exercício 1234567891011121314

Enunciado

Determinar o valor de n para que seja de 30 ° o ângulo entre as retas

r :   x - 2 4 = y + 4 5 = z 3   e s :   y = n x + 5 z = 2 x - 2

Passo 1

Mais um exercício para ficar expert em ângulo!! ;)

Esse exercício é o inverso do que fizemos anteriormente! Antes, tínhamos todas as informações necessárias para descobrir o vetor diretor das retas e então achar o ângulo entre elas. Agora, nós temos qual o valor do ângulo entre as retas r e s , mas não sabemos o valor de n . Assim, devemos descobrir o valor de n que satisfaça o ângulo dado.

Passo 2

Mesmo sendo o inverso o procedimento é praticamente o mesmo. Então, vamos encontrar os vetores diretores das retas!!

Para a reta r foram nos dadas as equações simétricas e por meio delas conseguimos retirar o vetor diretor que é:

r → = 4 ,   5 ,   3

Já a reta s , temos novamente as equações reduzidas da reta em função de x . Assim, podemos escrever que os pontos da reta s possuem as seguintes coordenadas:

x ,   y ,   z = x ,   n x + 5 ,   2 x - 2

Para encontrar o vetor diretor de s vamos encontrar 2 pontos e com eles então acharemos o vetor diretor:

x = 0 → A = 0 ,   5 ,   - 2

x = 1 → B = ( 1 ,   n + 5 ,   0 )

s → = A B → = B - A = 1 ,   n + 5 ,   0 - 0 ,   5 ,   - 2 = ( 1 ,   n ,   2 )

Passo 3

Tendo r → = 4 ,   5 ,   3 , s → = ( 1 ,   n ,   2 ) e θ = 30 ° , vamos obter n . Sabendo que a fórmula é:

cos ⁡ θ = r → ∙ s → r → | s → |

Vamos calcular separadamente os módulos dos vetores e o produto interno:

r → ∙ s → = 4 ,   5 ,   3 ∙ 1 ,   n ,   2 = | 10 + 5 n |

r → = 4 2 + 5 2 + 3 2 = 50 = 5 2

s → = 1 2 + n 2 + 2 2 = 5 + n 2

cos ⁡ 30 ° = 3 2

Colocando na fórmula temos:

3 2 = | 10 + 5 n | 5 2 5 + n 2

3 . 5 2 5 + n 2 = 2 10 + 5 n

Elevando os dois lados ao quadrado, temos:

3.25.2 . 5 + n 2 = 4 ( 10 + 5 n ) 2

750 + 150 n 2 = 400 + 400 n + 100 n 2

50 n 2 - 400 n + 350 = 0

Dividindo tudo por 50 , teremos:

n 2 - 8 n + 7 = 0

Como solução teremos:

n = 1       o u   n = 7

Resposta

n = 1       o u   n = 7

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