Exercícios Resolvidos de Ângulos entre Retas

Ver Teoria

Enunciado

Considere a reta r : X = 1 ,   2 ,   3 + λ ( 3 ,   2 ,   1 ) e o ponto P = ( 7 ,   1 ,   1 ) . Determine uma equação da reta s que passa por P e é perpendicular a r . Encontre Q = r ∩ s .

Passo 1

A reta s passa por P e tem vetor diretor P Q → (lembrando que Q é um ponto tanto da reta r como da reta s ).

Um ponto genérico da reta r , de acordo com a sua equação, é

Q = ( 1 + 3 λ ,   2 + 2 λ ,   3 + λ )

Então podemos chamar o vetor P Q → de

P Q → = Q - P = ( 3 λ - 6 ,   2 λ + 1 ,   λ + 2 )

Passo 2

Beleza, então a reta s tem equação

s : X = 7 ,   1 ,   1 + t ( 3 λ - 6 ,   2 λ + 1 ,   λ + 2 )

Opa, mas como fazemos pra descobrir esse vetor diretor sem esses λ aí?

Bem, o enunciado falou pra gente que as retas são perpendiculares, logo, o vetor diretor da reta r :   r → = ( 3 ,   2 ,   1 ) deve ser perpendicular ao vetor diretor da reta s :   P Q → = ( 3 λ - 6 ,   2 λ + 1 ,   λ + 2 ) .

Pra satisfazermos essa condição, vamos usar o produto escalar, pois sabemos que quando dois vetores são perpendiculares, o produto escalar entre eles é 0 :

P Q → . r → = 0

3 λ - 6 ,   2 λ + 1 ,   λ + 2 . 3 ,   2 ,   1 = 0

9 λ - 18 + 4 λ + 2 + λ + 2 = 0

14 λ = 14

λ = 1

Passo 3

Substituindo o valor de λ no vetor P Q → :

P Q → = ( - 3 ,   3 ,   3 )

Logo, a reta s tem equação

s : X = 7 ,   1 ,   1 + t ( - 3 ,   3 ,   3 )

Passo 4

No passo 1, estabelecemos Q como um ponto genérico da reta r , mas como o vetor P Q → foi o escolhido pra ser vetor diretor da reta s , o ponto Q com certeza também vai estar em s . Então podemos substituir o mesmo valor encontrado para λ no ponto Q :

Q = ( 1 + 3 λ ,   2 + 2 λ ,   3 + λ )

Q = ( 4 ,   4 ,   4 )

E fim :)

Resposta

s : X = 7 ,   1 ,   1 + t ( - 3 ,   3 ,   3 )

Q = ( 4 ,   4 ,   4 )

Exercícios de Livros Relacionados

Disputando uma partida de sinuca com seus amigos, Paulinho viu-se diante da situação ilustrada na Figura 19-3 (a), em que o ponto B representa a bola branca, P ,a preta, e R a rosa (esta era a bola da
Determinar o ângulo que a reta que passa por A = ( 3 , - 1,4 ) E B = ( 1,3 , 2 ) forma com a sua projeção sobre o plano x y .
Determinar o ângulo entre as seguintes retas:a) r 1 : x = - 2 - t y = t z = 3 - 2 t e r 2 : x 2 = y + 6 1 = z - 1 1 b) r 1 : y = - 2 x + 3 z = x - 2 e r 2 : y = z + 1 - 1 ; x = 4 c) r 1 : x = 1 + 2 t
Determinar o ângulo entre as seguintes retas:a) r 1 : x = - 2 - t y = t z = 3 - 2 t e r 2 : x 2 = y + 6 1 = z - 1 1 b) r 1 : y = - 2 x + 3 z = x - 2 e r 2 : y = z + 1 - 1 ; x = 4 c) r 1 : x = 1 + 2 t
Determinar o valor de n para que seja de 30 ° o ângulo entre as retasa) r 1 : x - 2 4 = y 5 = z 3 e r 2 : y = n x + 5 z = 2 x - 2 b) r 1 : y = n x - 1 z = 2 x e r 2 : eixoO y