Considere a reta r : X = 1 ,   2 ,   3 + λ ( 3 ,   2 ,   1 ) e o ponto P = ( 7 ,   1 ,   1 ) . Determine uma equação da reta s que passa por P e é perpendicular a r . Encontre Q = r ∩ s .

Passo 1

A reta s passa por P e tem vetor diretor P Q → (lembrando que Q é um ponto tanto da reta r como da reta s ).

Um ponto genérico da reta r , de acordo com a sua equação, é

Q = ( 1 + 3 λ ,   2 + 2 λ ,   3 + λ )

Então podemos chamar o vetor P Q → de

P Q → = Q - P = ( 3 λ - 6 ,   2 λ + 1 ,   λ + 2 )

Passo 2

Beleza, então a reta s tem equação

s : X = 7 ,   1 ,   1 + t ( 3 λ - 6 ,   2 λ + 1 ,   λ + 2 )

Opa, mas como fazemos pra descobrir esse vetor diretor sem esses λ aí?

Bem, o enunciado falou pra gente que as retas são perpendiculares, logo, o vetor diretor da reta r :   r → = ( 3 ,   2 ,   1 ) deve ser perpendicular ao vetor diretor da reta s :   P Q → = ( 3 λ - 6 ,   2 λ + 1 ,   λ + 2 ) .

Pra satisfazermos essa condição, vamos usar o produto escalar, pois sabemos que quando dois vetores são perpendiculares, o produto escalar entre eles é 0 :

P Q → . r → = 0

3 λ - 6 ,   2 λ + 1 ,   λ + 2 . 3 ,   2 ,   1 = 0

9 λ - 18 + 4 λ + 2 + λ + 2 = 0

14 λ = 14

λ = 1

Passo 3

Substituindo o valor de λ no vetor P Q → :

P Q → = ( - 3 ,   3 ,   3 )

Logo, a reta s tem equação

s : X = 7 ,   1 ,   1 + t ( - 3 ,   3 ,   3 )

Passo 4

No passo 1, estabelecemos Q como um ponto genérico da reta r , mas como o vetor P Q → foi o escolhido pra ser vetor diretor da reta s , o ponto Q com certeza também vai estar em s . Então podemos substituir o mesmo valor encontrado para λ no ponto Q :

Q = ( 1 + 3 λ ,   2 + 2 λ ,   3 + λ )

Q = ( 4 ,   4 ,   4 )

E fim :)

Resposta

s : X = 7 ,   1 ,   1 + t ( - 3 ,   3 ,   3 )

Q = ( 4 ,   4 ,   4 )

Exercícios Resolvidos de Ângulos entre Retas

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