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Exercícios Resolvidos de Ângulos entre Retas

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Exercício 4123567891011121314

Enunciado

Ache uma reta que passa por P = 1 ,   1 ,   1 , intercepta a reta r : x 2 = y = z e forma com ela um ângulo θ com cos ⁡ θ = 1 3 .

Passo 1

Temos que determinar a reta que passa pelo ponto P = ( 1 ,   1 ,   1 ) . Mas, falta determinarmos o vetor diretor da reta, que chamaremos de r → = ( a ,   b ,   c ) . Para determinar a ,   b e   c temos duas informações: uma que o cosseno entre as reta é cos ⁡ θ = 1 3 e que a reta que queremos determinar e a r se interceptam.

Passo 2

Vamos começar pela informação que as retas se interceptam. Se elas se interceptam temos que achar o ponto que elas se encontram, então temos que igualar suas equações:

Reescrevendo as equações da reta r na forma vetorial temos:

x ,   y ,   z = 0 ,   0 ,   0 + t ( 2 ,   1 ,   1 )

Escrevendo a equação vetorial da reta que queremos achar:

x , y ,   z = 1 ,   1 ,   1 + α ( a , b , c )

Igualando coordenada a coordenada, temos:

2 t = 1 + α a             ( 1 )

t = 1 + α b                 ( 2 )

t = 1 + α c                 ( 3 )

Igualando ( 2 ) e ( 3 ) :

b = c

Passo 3

Agora, vamos utilizar que cos ⁡ θ = 1 3 . Sabendo que a fórmula do ângulo entre duas retas é:

cos ⁡ θ = r → ∙ s → r → | s → |

Vamos calcular separadamente os módulos dos vetores e o produto interno:

r → ∙ s → = a ,   b ,   c ∙ 2 ,   1 ,   1 = | 2 a + b + c |

r → = a 2 + b 2 + c 2

s → = 2 2 + 1 2 + 1 2 = 6

cos ⁡ θ = 1 3

Colocando na fórmula temos:

3 3 = | 2 a + b + c | 6 a 2 + b 2 + c 2

3   6   a 2 + b 2 + c 2 = 3 2 a + b + c

Elevando os dois lados ao quadrado,temos:

3.6 .   a 2 + b 2 + c 2 = 9 ( 2 a + b + c ) 2

Substituindo a relação   b = c na expressão acima temos:

18   a 2 + 2 b 2 = 9 ( 2 a + 2 b ) 2

Resolvendo:

a a + 4 b = 0

a = 0         o u         a = - 4 b

Com a = 0         o u         a = - 4 b e o resultado b = c , teremos duas soluções para r → :

r → = 0 ,   b ,   b       o u       r → = ( - 4 b ,   b ,   b )

S e   b = 1 →   r → = 0 ,   1 ,   1       o u       r → = ( - 4 ,   1 ,   1 )

Teremos então duas retas com equações vetoriais:

X = 1 ,   1 ,   1 + t 0 ,   1 ,   1

X = 1 ,   1 ,   1 + α ( - 4 ,   1 ,   1 )

Resposta

X = 1 ,   1 ,   1 + t 0 ,   1 ,   1

X = 1 ,   1 ,   1 + α ( - 4 ,   1 ,   1 )

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