UFMG – Cálculo 3 – P2 – 2022/2
4) Calcule a integral
Onde é a fronteira da região limitada pelas curvas e orientada positivamente.
Passo 1
Falaaa galerinha... beleza??
Vamos calcular essa integral feiosa, mas, como já disse, ela é feiosa, né? Então vamos ter que usar algum truque pra dar uma simplificada.
Poooo... a expressão “orientada positivamente” já faz a gente pensar um pouco no Teorema de Green.
Pra usar esse Teorema precisamos que:
- a curva que delimita a região seja fechada e orientada positivamente (olha aí...);
- as funções que estão acompanhadas de e tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas;
Daí podemos usar:
No nosso caso é , é e é .
Passo 2
Vamos esboçar a região delimitada pelas curvas e e ver se realmente é uma curva fechada:
Ohhh... é uma região fechada, sim.
Vamos aproveitar pra achar esses pontos de intersecção igualando as equação:
CUIDADO pra não achar só , ta?? Joga pro outro lado e bota em evidência:
Daí achamos:
e
Ou
e
Passo 3
Agora vamos verificar se as funções têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas.
Para , temos:
Para temos:
Vamos aproveitar esse passo pra já achar os limites de integração da integral dupla, beleza?
Olhando pra região que a gente desenho, repara que varia de até (se liga que aumenta da esquerda pra direita, heim!?) e varia de até 1.
Já dá até pra ver que tudo vai ficar bem mais bonitinho, né?
Passo 4
Jogando tudo na equação:
Ufa... ficou lindíssimo pra resolver, né?
Resolvendo a integral dupla:
Prontinho. Acabamos essa. =)