Exercícios Resolvidos de Teorema da Divergência no Plano

Exercício 3 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Enunciado

Calcule

Sendo dados: , a fronteira do quadrado de vértices , , e e a normal que aponta para fora do quadrado, sendo orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

A gente sabe que o que ele pede é o fluxo e, nesse caso, nem seria tão complicado tentar fazer pela definição, mas seriam quatro curvas e muitas contas, né?

Por sorte, temos o teorema da divergência no plano para nos ajudar.

Vamos lembrar o que vimos na teoria. O teorema nos diz, basicamente que:

Ou seja, saimos de um integral de linha de fluxo para calcularmos uma integral dupla. Vamos ver se vale a pena mesmo!

Passo 2

O campo que a questão deu é escrito por:

Então, calculando o termo dentro da integral dupla, vamos ter que:

O que é muito simples e nos ajuda muito no cálculo. Vamos ver como que vai ficar, então!

Passo 3

É só jogar na integral dupla:

O nosso domínio é bem tranquilo, um quadrado de lado , então temos que a área do quadrado é:

Ou seja:

Resposta

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Os pontos P 1 e P 2 são fontes ou sorvedouros no campo vetorial F → mostrado na figura? Dê uma explicação baseada exclusivamente na figura.Dado que F → x , y = x , y 2 , use a definição de divergente

Supondo que v → representa a velocidade de um fluido em movimento, verificar se v → representa um possível fluido incompressível.a) v → x , y = 2 y - 3 i → + x 2 j →

Use o Teorema do Divergente para calcular ∬ S2 x + 2 y + z 2 d S onde S é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

Demonstre cada identidade, supondo que S e E satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que as funções escalares e as componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda orde