Seja o campo escalar f que não apresenta valor nulo em seu domínio. Sabe-se que ∇ f 2 = 8 f e d i v 2 f ∇ 2 f = 36 f . Sabendo que ∂ f ∂ n é a derivada direcional de f na direção do vetor normal unitário da superfície S , apontado para fora. Considerando que a superfície S é uma esfera de centro na origem e raio 3, determine o valor de

∬ S   ∂ f ∂ n   d S

Passo 1

Fala pessoal! A fim de chegarmos no divergente utilizado na condição fornecida precisaremos aplicar o Teorema da Divergência:

∬ S   ∂ f ∂ n   d S = ∬ S   ∇ f ⋅ n →   d S = ∭ V d i v ∇ f   d V

Observe ainda que:

d i v 2 f ∇ 2 f = 36 f ⇒ d i v f ∇ f = 9 f

∇ f ⋅ ∇ f + f   d i v ∇   f = 9 f

∇ f 2 + f   d i v ∇   f = 9 f

8 f + f   d i v ∇   f = 9 f

f   d i v ∇   f = f

Como f não se anula em seu domínio, d i v ∇   f = 1 . Assim,

∬ S   ∂ f ∂ n   d S = ∭ V   d V = 4 π 3 3 3 = 36 π

Resposta

36 π

Exercícios Resolvidos de Teorema da Divergência no Plano

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