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Exercícios Resolvidos de Teorema da Divergência no Plano

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Exercício 412356789101112131415

Enunciado

UFAM– Cálculo 2 – P3 – Questão 6

Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial

F → x , y , z = ln ⁡ x i ^ + ln ⁡ x y   j ^ + ln ⁡ x y z k ^

Passo 1

Oi, tudo bem?

O problema nos deu essa função vetorial aqui

F → x , y , z = ln ⁡ x i ^ + ln ⁡ x y   j ^ + ln ⁡ x y z k ^

E pediu para calcularmos o produto vetorial e o produto escalar.

vamos relembrar como calcular o produto escalar e vetorial de uma função vetorial? Primeiro o vetorial! Supondo que nossa função vetorial seja assim

F → = F x i ^ + F y j ^ + F z k ^

Então o produto vetorial ∇ → × F → é definido assim:

∇ → × F → = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z

E o resultado é o resultado do determinante! Beleza?

∇ → ⋅ F → é:

∇ → ⋅ F → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ F x ,   F y ,   F z

Tudo bem até aqui? Lembrando que o resultado de um produto vetorial é um vetor, e do produto escalar é um escalar!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos calcular primeiro o produto vetorial? Nossa função F → é:

F → x , y , z = ln ⁡ x i ^ + ln ⁡ x y   j ^ + ln ⁡ x y z k ^

Aplicando o rotacional temos:

∇ → × F → = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z ln ⁡ x ln ⁡ x y ln ⁡ x y z

Agora precisamos resolver o determinante:

= i ^ ∂ ∂ y ln ⁡ x y z - ∂ ∂ z ln ⁡ x y + j ^ ∂ ∂ z ln ⁡ x - ∂ ∂ x ln ⁡ x y z + k ^ ∂ ∂ x ln ⁡ x y - ∂ ∂ y ln ⁡ x

= i ^ 1 x y z . x z - 0 + j ^ 0 - 1 x y z . y z + k ^ 1 x y . y - 1 x

= 1 y i ^ - 1 x j ^

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos calcular o produto escalar!

Nossa função vetorial é:

F → x , y , z = ln ⁡ x i ^ + ln ⁡ x y   j ^ + ln ⁡ x y z k ^

E o produto escalar é:

∇ → ⋅ F → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ F x ,   F y ,   F z

Agora é só substituir e fazer o produto escalar entre os dois:

∇ → ⋅ F → = ∂ ∂ x ln ⁡ x + ∂ ∂ y ln ⁡ x y + ∂ ∂ z ( ln ⁡ x y z )

= 1 x + 1 x y . x + 1 x y z . x y

∇ → ⋅ F → = 1 x + 1 y + 1 z

Ufa! Agora sim! Terminamos! Espero ter ajudado!

Até próxima!

Resposta

∇ → × F → = 1 y i ^ - 1 x j ^

∇ → ⋅ F → = 1 x + 1 y + 1 z

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