USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2022.1, Questão 21a.
21. Calcule as seguintes integrais:
a) , onde é a parte de limitada por , orientada com a normal unitária tal que .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nesse problema, queremos obter a integral da função vetorial através de uma superfície dada por onde é o limite de .
Tem ideia do que podemos fazer? 🤔
Ao invés de calcularmos o vetor normal a podemos aplicar o teorema da divergência pra resolver esse problema.
O teorema da divergência estabelece uma relação entre o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é a divergência desse campo em seu interior.
Matematicamente, o teorema da divergência pode ser enunciado da seguinte forma:
Seja um campo vetorial definido em uma região do espaço delimitada por uma superfície fechada . Ent��o, o fluxo de através de é dado por:
A divergência do campo é definida por:
Assim, o teorema da divergência estabelece que o fluxo de através de é igual à integral da divergência de no interior da região delimitada por .
Sacou? Bora começar! 😁
Passo 2
Porém, temos um problema, não é uma superfície fechada. Se plotássemos o gráfico de teríamos algo parecido com uma tigela.
Então para reverter esse problema, vamos adicionar uma tampa a essa tigela dada por
Assim, o teorema da divergência deve ser atualizado como
Em que é a tampa que criamos.
Vamos começar calculando o divergente de
Assim, vemos que
Substituindo os resultados...
Entendeu essa parte? 😉
Passo 3
Assim, o teorema da divergência será dado por
Perceba que a integral resulta no volume do solido dado por e .
Logo, podemos dizer que será
Podemos calcular o volume do solido através da integral tripla
Se olharmos de cima, vamos ver que e projetam uma circunferência no plano , então podemos usar coordenadas polares para nos ajudar.
Fazendo , e , temos que os limites para , e serão
Sacou? 😊
Passo 4
Integrando com relação a
Substituindo na integral
Agora com relação a
Substituindo na integral...
Resultando em
Legal, né? 😁
Passo 5
Agora vamos olhar para a região para obter a integral
se trata de um plano dado por , assim, podemos ver que o vetor normal é dado por
Substituindo na integral
Como então
Perceba que é a área da superfície . Se plotássemos no plano , teríamos uma circunferência de raio , ou seja
Concorda comigo? 👀
Passo 6
Como a área de uma circunferência é , então se o raio
E, portanto.
Substituindo no teorema da divergência, vamos obter que
Simplificando
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
