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Exercícios Resolvidos de Teorema da Divergência no Plano

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Exercício 912345678101112131415

Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2022.1, Questão 21d.

21. Calcule as seguintes integrais:

(d) ∫ ∫ s z 2 d z ∧ d x + x 2 ln ⁡ x 2 + y 2 d x ∧ d y , onde S é a parte de 9 + z 2 = x 2 + y 2 com 0 ≤ z ≤ 4 , orientada com a normal unitária N → · k → ≥ 0

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, queremos obter a integral da função vetorial

F → x , y , z = 0 , z 2 , x 2 ln ⁡ x 2 + y 2

através de uma superfície S dada por 9 + z 2 = x 2 + y 2 limitada entre 0 ≤ z ≤ 4 .

Tem ideia do que podemos fazer? 🤔

Ao invés de calcularmos o vetor normal a S podemos aplicar o teorema da divergência pra resolver esse problema.

O teorema da divergência estabelece uma relação entre o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é a divergência desse campo em seu interior.

Matematicamente, o teorema da divergência pode ser enunciado da seguinte forma:

Seja F → um campo vetorial definido em uma região do espaço delimitada por uma superfície fechada S . Então, o fluxo de F → através de S é dado por:

∫ ∫ F → · N →   d S = ∭ d i v F →   d V

A divergência do campo F → é definida por:

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

Assim, o teorema da divergência estabelece que o fluxo de F → através de S é igual à integral da divergência de F → no interior da região delimitada por S .

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Como S não é uma superfície fechada, temos que adicionar algumas integrais de linha para fechar S .

Se plotarmos S no espaço, iriamos obter

Então perceba que para fechar S , temos que adicionar uma “tampa” e uma “base” na região vermelha.

Ou seja, uma circunferência em z = 4 e outra em z = 0 ...

S 1 → 9 + 4 2 = x 2 + y 2

S 1 → x 2 + y 2 = 25

S 2 → 9 + 0 2 = x 2 + y 2

S 2 → x 2 + y 2 = 9

Portanto, S 1 é uma circunferência de raio 5 e S 2 é uma circunferência de raio 3

Adicionando essas curvas ao teorema, temos

∫ ∫ S F → · N →   d S + ∫ ∫ S 1 F → · N 1 →   d S 1 + ∫ ∫ S 2 F → · N 2 →   d S 2 = ∭ d i v F →   d V

bora por a mão na massa! 😁

Passo 3

Vamos começar calculando o divergente de F

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

d i v F → = ∂ 0 ∂ x + ∂ z 2 ∂ y + ∂ x 2 ln ⁡ x 2 + y 2 ∂ z

Perceba que toras essas derivadas resultam em 0 , logo

d i v F → = 0

Com isso, a integral de F em S será dado por

∫ ∫ S F → · N →   d S + ∫ ∫ S 1 F → · N 1 →   d S 1 + ∫ ∫ S 2 F → · N 2 →   d S 2 = 0

∫ ∫ S F → · N →   d S = - ∫ ∫ S 1 F → · N 1 →   d S 1 - ∫ ∫ S 2 F → · N 2 →   d S 2

Vamos calcular a integral de S 1 ...

S 1 é a circunferência paralela ao plano x y , de raio 5 e em z = 4 .

Pelo fato de ser paralela a x y , já podemos dizer que N 1 → = 0,0 , 1 . Aplicando na integral

∫ ∫ S 1 F → · N 1 →   d S 1 → ∫ ∫ S 1 0 , z 2 , x 2 ln ⁡ x 2 + y 2 · 0,0 , 1   d S 1

∫ ∫ S 1 x 2 ln ⁡ x 2 + y 2   d S 1

Como S 1 é uma circunferência, vamos calcular essa integral usando coordenadas polares.

Se x = r c o s θ , y = r s e n θ e x 2 + y 2 = r 2 e pelo que vimos dessa região, r varia de 0 a 5 e θ de 0 a 2 π , então lembrando que o jacobiano J = r , a integral será dada por

∫ ∫ S 1 x 2 ln ⁡ x 2 + y 2   d S 1 → ∫ 0 2 π ∫ 0 5 r 2 c o s 2 θ ln ⁡ r 2 r d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 5 r 3 c o s 2 θ ln ⁡ r 2 d r d θ

Bacana, não é? 😎

Passo 4

Integrando com relação a r , temos

∫ r 3 c o s 2 θ ln ⁡ r 2 d r = c o s 2 θ ∫ r 3 ln ⁡ r 2 d r

∫ r 3 c o s 2 θ ln ⁡ r 2 d r = c o s 2 θ r 4 2 ln ⁡ r - r 4 8

∫ 0 5 r 3 c o s 2 θ ln ⁡ r 2 d r = c o s 2 θ 5 4 2 ln ⁡ 5 - 5 4 8 - c o s 2 θ 0 4 2 ln ⁡ 0 - 0 4 8

∫ 0 5 r 3 c o s 2 θ ln ⁡ r 2 d r = c o s 2 θ 652 2 ln ⁡ 5 - 625 8

Substituindo na integral...

∫ 0 2 π c o s 2 θ 652 2 ln ⁡ 5 - 625 8 d θ = 652 2 ln ⁡ 5 - 625 8 ∫ 0 2 π c o s 2 θ d θ

Agora integrando com relação a θ

∫ c o s 2 θ d θ = 1 2 θ + 1 2 s e n 2 θ

∫ 0 2 π c o s 2 θ d θ = 1 2 2 π + 1 2 s e n 2 2 π - 1 2 0 + 1 2 s e n 2 0

∫ 0 2 π c o s 2 θ d θ = π

Com isso, a integral de S 1 é dada por

∫ 0 2 π ∫ 0 5 r 3 c o s 2 θ ln ⁡ r 2 d r d θ = 652 2 ln ⁡ 5 - 625 8 π

∫ ∫ S 1 F → · N 1 →   d S 1 = 652 π 2 ln ⁡ 5 - 625 π 8

Tranquilo até aqui? 🤔

Passo 5

Agora vamos fazer o mesmo para a superfície S 2 .

S 2 é a circunferência paralela ao plano x y , de raio 3 e em z = 0 .

Pelo fato de ser paralela a x y , já podemos dizer que N 2 → = 0,0 , - 1 já que N → deve apontar para fora de S . Aplicando na integral

∫ ∫ S 2 F → · N 2 →   d S 2 → ∫ ∫ S 2 0 , z 2 , x 2 ln ⁡ x 2 + y 2 · 0,0 , - 1   d S 2

∫ ∫ S 2 - x 2 ln ⁡ x 2 + y 2   d S 2

Como S 2 é uma circunferência, vamos calcular essa integral usando coordenadas polares.

Se x = r c o s θ , y = r s e n θ e x 2 + y 2 = r 2 e pelo que vimos dessa região, r varia de 0 a 3 e θ de 0 a 2 π , então lembrando que o jacobiano J = r , a integral será dada por

∫ ∫ S 2 - x 2 ln ⁡ x 2 + y 2   d S 2 → ∫ 0 2 π ∫ 0 3 - r 2 c o s 2 θ ln ⁡ r 2 r d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 3 - r 3 c o s 2 θ ln ⁡ r 2 d r d θ

Bacana, não é? 😎

Passo 6

Já sabemos quanto é a integral com relação a r e a θ , então podemos substituir direto

∫ 0 2 π ∫ 0 3 - r 3 c o s 2 θ ln ⁡ r 2 d r d θ = ∫ 0 2 π c o s 2 θ d θ ∫ 0 3 - r 3 ln ⁡ r 2 d r

A integral de θ é

∫ c o s 2 θ d θ = 1 2 θ + 1 2 s e n 2 θ

∫ 0 2 π c o s 2 θ d θ = π

Já a integral em r

∫ - r 3 ln ⁡ r 2 d r = - r 4 2 ln ⁡ r + r 4 8

∫ 0 3 - r 3 ln ⁡ r 2 d r = - 81 2 ln ⁡ 3 + 81 8

Substituindo na integral...

∫ 0 2 π ∫ 0 3 - r 3 c o s 2 θ ln ⁡ r 2 d r d θ = π - 81 2 ln ⁡ 3 + 81 8

∫ ∫ S 2 F → · N 2 →   d S 2 = - 81 π 2 ln ⁡ 3 + 81 π 8

Relaxa, estamos no fim! 👀

Passo 7

E finalmente, substituindo no teorema...

∫ ∫ S F → · N →   d S = - ∫ ∫ S 1 F → · N 1 →   d S 1 - ∫ ∫ S 2 F → · N 2 →   d S 2

∫ ∫ S F → · N →   d S = - 652 π 2 ln ⁡ 5 - 625 π 8 - - 81 π 2 ln ⁡ 3 + 81 π 8

∫ ∫ S F → · N →   d S = - 652 π 2 ln ⁡ 5 + 625 π 8 + 81 π 2 ln ⁡ 3 - 81 π 8

∫ ∫ S F → · N →   d S = - 652 π 2 ln ⁡ 5 + 81 π 2 ln ⁡ 3 + 68 π

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ ∫ S F → · N →   d S = - 652 π 2 ln ⁡ 5 + 81 π 2 ln ⁡ 3 + 68 π

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