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Exercícios Resolvidos de Teorema da Divergência no Plano

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Exercício 121234567891011131415

Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2022.1, Questão 21e.

21. Calcule as seguintes integrais:

(g) ∫ ∫ S x d y ∧ d z + y d z ∧ d x + z d x ∧ d y x 2 + y 2 + z 2 3 2 , onde S é o elipsoide x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1 , orientada com a normal unitária exterior.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, queremos obter a integral da função vetorial

F → x , y , z = x , y , z x 2 + y 2 + z 2 3 2

através de uma superfície S dada por z - 3 2 = x 2 + y 2 limitada entre 0 ≤ z ≤ 3 .

Tem ideia do que podemos fazer? 🤔

Ao invés de calcularmos o vetor normal a S podemos aplicar o teorema da divergência pra resolver esse problema.

O teorema da divergência estabelece uma relação entre o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é a divergência desse campo em seu interior.

Matematicamente, o teorema da divergência pode ser enunciado da seguinte forma:

Seja F → um campo vetorial definido em uma região do espaço delimitada por uma superfície fechada S . Então, o fluxo de F → através de S é dado por:

∫ ∫ F → · N →   d S = ∭ d i v F →   d V

A divergência do campo F → é definida por:

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

Assim, o teorema da divergência estabelece que o fluxo de F → através de S é igual à integral da divergência de F → no interior da região delimitada por S .

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Nossa superfície S é fechada, então apenas temos que calcular o divergente de F e aplicar na integral volumétrica da região.

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

d i v F → = ∂ x x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ x + ∂ y x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ y + ∂ z x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ z

Pela regra do quociente as derivadas são

∂ x x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ x = - 2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2

∂ y x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ y = x 2 - 2 y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2

∂ z x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ z = x 2 + y 2 - 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2

Logo

d i v F → = - 2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2 + x 2 - 2 y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2 + x 2 + y 2 - 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2

d i v F → = - 2 x 2 + y 2 + z 2 + x 2 - 2 y 2 + z 2 + x 2 + y 2 - 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2

d i v F → = 0

Portanto, substituindo no teorema, temos

∫ ∫ F → · N →   d S = ∭ d i v F →   d V

∫ ∫ F → · N →   d S = ∭ 0   d V

Logo, como a integral de 0 é 0

∫ ∫ F → · N →   d S = 0

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ ∫ F → · N →   d S = 0

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