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Exercícios Resolvidos de Teorema da Divergência no Plano

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2022.1, Questão 21c.

21. Calcule as seguintes integrais:

c) ∫ ∫ S F → · N → d σ , onde F → x , y , z = e z 2 cos ⁡ z y 2 i + x j + y k e S é a parte de x 2 + y 2 = 1 limitada por z = 0 e z = y + 3 , orientada com a normal unitária exterior.

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, queremos obter a integral da função vetorial

F → x , y , z = e z 2 cos ⁡ z y 2 , x , y

através de uma superfície S dada por x 2 + y 2 = 1 limitada por z = 0 e z = y + 3 .

Tem ideia do que podemos fazer? 🤔

Ao invés de calcularmos o vetor normal a S podemos aplicar o teorema da divergência pra resolver esse problema.

O teorema da divergência estabelece uma relação entre o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é a divergência desse campo em seu interior.

Matematicamente, o teorema da divergência pode ser enunciado da seguinte forma:

Seja F → um campo vetorial definido em uma região do espaço delimitada por uma superfície fechada S . Então, o fluxo de F → através de S é dado por:

∫ ∫ F → · N →   d S = ∭ d i v F →   d V

A divergência do campo F → é definida por:

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

Assim, o teorema da divergência estabelece que o fluxo de F → através de S é igual à integral da divergência de F → no interior da região delimitada por S .

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Como S não é uma superfície fechada, temos que adicionar algumas integrais de linha para fechar S .

Assim, temos que aplicar uma circunferência de raio 1 em z = 1 e um elipsoide na parte superior de S , assim, o teorema da divergência para esse caso, deve ser atualizado como

∫ ∫ S F → · N →   d S + ∫ ∫ S 1 F → · N 1 →   d S 1 + ∫ ∫ S 2 F → · N 2 →   d S 2 = ∭ d i v F →   d V

Calculando o divergente de F , temos

d i v F → = ∂ e z 2 cos ⁡ z y 2 ∂ x + ∂ x ∂ y + ∂ y ∂ z

Todas essas derivadas são 0 , portanto

d i v F → = 0

∫ ∫ S F → · N →   d S + ∫ ∫ S 1 F → · N 1 →   d S 1 + ∫ ∫ S 2 F → · N 2 →   d S 2 = 0

∫ ∫ S F → · N →   d S = - ∫ ∫ S 1 F → · N 1 →   d S 1 - ∫ ∫ S 2 F → · N 2 →   d S 2

Entendeu essa parte? 🤔

Passo 3

Se S 1 é a circunferência abaixo de S e ela está contida em z = 0 , como N 1 → aponta para fora de S , N 1 → deve ser um vetor normal a S 1 que aponta no sentido de - z , ou seja

  N 1 → = 0,0 , - 1

Portanto

∫ ∫ S 1 e z 2 cos ⁡ z y 2 , x , y · 0,0 , - 1   d S 1

∫ ∫ S 1 - y   d S 1

Essa integral é a área da circunferência, ou seja

Aplicando coordenadas polares, temos que y = r s e n θ e o jacobiano J = r , a integral de área da circunferência de raio 1 é dada por

∫ 0 2 π ∫ 0 1 - r 2 s e n θ   d r d θ

Integrando em r

∫ - r 2 s e n θ d r = - r 3 3 s e n θ

∫ 0 1 - r 2 s e n θ d r = - 1 3 s e n θ

Substituindo na integral...

∫ 0 2 π - 1 3 s e n θ d θ

Integrando em θ

∫ - 1 3 s e n θ d θ = 1 3 cos ⁡ θ

∫ 0 2 π - 1 3 s e n θ d θ = 1 3 cos ⁡ 2 π - 1 3 cos ⁡ 0

∫ 0 2 π - 1 3 s e n θ d θ = 0

Interessante, não é? 😉

Passo 4

Agora temos que olhar para a superfície S 2 , que é a elipse no plano z = y + 3

Se olharmos esse plano em x = 0 , vemos que ele faz um ângulo de 45 ° com o semieixo positivo de y .

Portanto, a magnitude da componente em y e em z é a mesma em N 2 → , já x não varia. Assim, podemos definir o vetor N 2 → como

N 2 → = 0 , - 1 2 , 1 2

Aplicando na integral de linha...

∫ ∫ S 2 F → · N 2 →   d S 2 → ∫ ∫ S 2 e z 2 cos ⁡ z y 2 , x , y · 0 , - 1 2 , 1 2   d S 2

∫ ∫ S 2 - x 2 + y 2   d S 2

Temos que parametrizar S 2 para aplicar na integral.

Se fizermos x = r c o s θ e y = r s e n θ , z será z = r s e n θ + 3

Como r varia de 0 a 1 e θ de 0 a 2 π , então

∫ ∫ S 2 - x 2 + y 2   d S 2 → ∫ 0 2 π ∫ 0 1 - r c o s θ 2 + r s e n θ 2   d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 1 - r 2 c o s θ - s e n θ   d r d θ

Integrando em r ...

∫ - r 2 c o s θ + s e n θ d r = - r 2 2 2 c o s θ + s e n θ

∫ 0 1 - r 2 c o s θ + s e n θ d r = - 1 2 2 c o s θ + s e n θ

Substituindo na integral...

∫ 0 2 π - 1 2 2 c o s θ - s e n θ d θ

Olha só que coisa!

Passo 5

Integrando em θ

∫ - 1 2 2 c o s θ - s e n θ d θ = - 1 2 2 s e n θ + c o s θ

∫ 0 2 π - 1 2 2 c o s θ - s e n θ d θ = - 1 2 2 s e n 2 π + c o s 2 π - - 1 2 2 s e n 0 + c o s 0

∫ 0 2 π - 1 2 2 c o s θ - s e n θ d θ = - 1 2 2 0 + 1 - - 1 2 2 0 + 1

∫ 0 2 π - 1 2 2 c o s θ - s e n θ d θ = - 1 2 2 + 1 2 2 = 0

Portanto, vamos obter que a integral de linha da superfície S 2 também é 0 , logo

∫ ∫ S F → · N →   d S = - ∫ ∫ S 1 F → · N 1 →   d S 1 - ∫ ∫ S 2 F → · N 2 →   d S 2

∫ ∫ S F → · N →   d S = - 0 - 0

∫ ∫ S F → · N →   d S = 0

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ ∫ S F → · N →   d S = 0

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