Seja
E seja
Seja a área do conjunto limitado pelo eixo e pela curva . Calcule
Onde é a normal a que aponta para fora do conjunto acima mencionado.
Passo 1
A integral dada é bem similar a uma integral de linha de fluxo (com exceção de que a curva dada não é fechada), mas parece bem difícil de calcular pela definição.
Podemos pensar então em usar o teorema da divergência:
Mas precisamos lembrar que uma das condições do teorema é que a curva seja a fronteira da região , isto é, a curva precisa ser fechada. Vamos ver como podemos contornar isso!
Passo 2
A curva dada na questão não é fechada. Na verdade, podemos ver que ela começa no ponto:
E termina no ponto:
Então, pra começar, temos que criar uma curva que ligue esses dois pontos. Pode ser a reta:
E assim, vamos ter que , uma curva fechada. Só tem que toma cuidado que a curva está orientada no sentido horário, negativa!
Vamos fazer então que: e aplicar o teorema!
Passo 3
Vamos ter:
E desenvolvemos mais um pouco:
Agora só precisamos calcular a integral dupla do teorema e a integral de linha sobre , que é uma reta, então vai ser bem mais simples que a integral de . Mas vamos lá!
Passo 4
Vamos começar com a integral dupla:
Que é dado na questão como , então:
Uma parte já foi, vamos à próxima!
Passo 5
Agora vamos tentar a integral de linha:
O vetor normal é dado por:
Então jogamos na integral:
Opa, isso nos poupa bastante trabalho!
Passo 6
Agora é só somar:
E pronto, tudo resolvido!