Encontre o fluxo exterior do campo
Através da cardióide
Passo 1
Eita, essa parece uma integral bem difícil de fazer pela definição...
Mas a gente viu na teoria que tem outra forma de resolver essa questão: o teorema da divergência!
Vamos lembrar o que ele diz:
Ou seja, saimos de um integral de linha de fluxo para calcularmos uma integral dupla.
Com sorte, vamos ter algo mais possível de calcular, vamos ver como que vai ficar!
Passo 2
O campo que a questão deu é escrito por:
Então, calculando o termo dentro da integral dupla, vamos ter que:
É, com certeza é algo muito mais simples do que tinhamos antes, né?
Mas calma que ainda vamos ter que ver como que isso fica na integral.
Passo 3
Vamos ter:
A região parece meio estranha, mas a curva sugere coordenadas polares, então vamos tentar:
O domínio fica:
Então:
Que é viável de calcular, vamos tentar!
Passo 4
Falta só resolver a integral:
Que a gente resolve com a substituição:
Então:
Usando os limites de integração que tinhamos antes:
Tudo isso pra chegarmos em , não acredito... haha
Mas o que importa é que conseguimos resolver a questão!