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Exercícios Resolvidos de Teorema da Divergência no Plano

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Exercício 812345679101112131415

Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2022.1, Questão 21b.

21. Calcule as seguintes integrais:

(b) ∫ ∫ S x 2 + z 3 d y ∧ d z + z 5 d z ∧ d x + e x 2 + y 2 + z 2 d x ∧ d y ,   onde S é a parte de x 2 + y 2 + z - 1 2 = 1 interior a z 2 = x 2 + y 2 , orientada com a normal exterior.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, queremos obter a integral da função vetorial

F → x , y , z = x 2 + z 3 , z 5 , e x 2 + y 2 + z 2

através de uma superfície S dada por x 2 + y 2 + z - 1 2 = 1 onde z 2 = x 2 + y 2 é o limite de S .

Tem ideia do que podemos fazer? 🤔

Ao invés de calcularmos o vetor normal a S podemos aplicar o teorema da divergência pra resolver esse problema.

O teorema da divergência estabelece uma relação entre o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é a divergência desse campo em seu interior.

Matematicamente, o teorema da divergência pode ser enunciado da seguinte forma:

Seja F → um campo vetorial definido em uma região do espaço delimitada por uma superfície fechada S . Então, o fluxo de F → através de S é dado por:

∫ ∫ F → · N →   d S = ∭ d i v F →   d V

A divergência do campo F → é definida por:

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

Assim, o teorema da divergência estabelece que o fluxo de F → através de S é igual à integral da divergência de F → no interior da região delimitada por S .

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Vamos começar calculando o divergente de F →

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

d i v F → = ∂ x 2 + z 3 ∂ x + ∂ z 5 ∂ y + ∂ e x 2 + y 2 + z 2 ∂ z

Calculando as derivadas parciais do divergente, obtemos...

∂ x 2 + z 3 ∂ x = 2 x

∂ z 5 ∂ y = 0

∂ e x 2 + y 2 + z 2 ∂ z = 2 z

Ou seja

d i v F → = 2 x + 0 + 2 z

d i v F → = 2 x + z

Tranquilo até aqui? 🤔

Passo 3

Agora vamos dar uma olhada em S .

S é limitada pela superfície x 2 + y 2 + z - 1 2 = 1 na parte de cima e z 2 = x 2 + y 2 na parte de baixo.

Então como S é limitada superiormente por uma esfera, podemos aplicar uma integral volumétrica com coordenadas esféricas.

Como x = ρ s e n ϕ cos ⁡ θ , y = ρ s e n ϕ sen ⁡ θ , z = ρ cos ⁡ ϕ com o jacobiano ρ 2 s e n ϕ a integral volumétrica do divergente será dada por

∭ d i v F →   d V → ∭ 2 x + z   d V

∭ d i v F →   d V → ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 2 ρ s e n ϕ cos ⁡ θ + ρ cos ⁡ ϕ · ρ 2 s e n ϕ d ρ d ϕ d θ

∭ d i v F →   d V → ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 2 ρ 3 s e n 2 ϕ cos ⁡ θ + sen ϕ cos ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

Integrando em ρ , temos

∫ 2 ρ 3 s e n 2 ϕ cos ⁡ θ + sen ϕ cos ⁡ ϕ d ρ = ρ 4 2 s e n 2 ϕ cos ⁡ θ + sen ϕ cos ⁡ ϕ

Aplicando os limites de integração

∫ 0 1 2 ρ 3 s e n 2 ϕ cos ⁡ θ + sen ϕ cos ⁡ ϕ d ρ = 1 4 2 s e n 2 ϕ cos ⁡ θ + sen ϕ cos ⁡ ϕ - 0

∫ 0 1 2 ρ 3 s e n 2 ϕ cos ⁡ θ + sen ϕ cos ⁡ ϕ d ρ = 1 2 s e n 2 ϕ cos ⁡ θ + sen ϕ cos ⁡ ϕ

Entendeu essa parte?

Passo 4

Substituindo na integral

∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 1 2 s e n 2 ϕ cos ⁡ θ + sen ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ d θ

Agora integramos com relação a ϕ

∫ 1 2 s e n 2 ϕ cos ⁡ θ + sen ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ = 1 2 1 2 ϕ - 1 2 s e n 2 ϕ cos ⁡ θ + s e n 2 ϕ 2

Aplicando os limites de integração

∫ 0 π 2 1 2 s e n 2 ϕ cos ⁡ θ + sen ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ = 1 2 1 2 π 2 - 1 2 s e n 2 π 2 cos ⁡ θ + s e n 2 π 2 2 - 1 2 1 2 0 - 1 2 s e n 2 0 cos ⁡ θ + s e n 2 0 2

Simplificando...

∫ 0 π 2 1 2 s e n 2 ϕ cos ⁡ θ + sen ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ = 1 2 π 4 - 0 cos ⁡ θ + 1 2 - 1 2 0 cos ⁡ θ + 0

∫ 0 π 2 1 2 s e n 2 ϕ cos ⁡ θ + sen ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ = π 8 cos ⁡ θ + 1 4

Substituindo na integral

∫ 0 2 π π 8 cos ⁡ θ + 1 4 d θ

Por fim, integrando com relação a θ

∫ π 8 cos ⁡ θ + 1 4 d θ = π 8 s e n θ + 1 4 θ

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 π π 8 cos ⁡ θ + 1 4 d θ = π 8 s e n 2 π + 1 4 2 π - π 8 s e n 0 + 1 4 0

∫ 0 2 π π 8 cos ⁡ θ + 1 4 d θ = 0 + 1 4 2 π - 0

∫ 0 2 π π 8 cos ⁡ θ + 1 4 d θ = π 2

E finalmente, substituindo no teorema da divergência, temos que

∫ ∫ F → · N →   d S = ∭ d i v F →   d V

∫ ∫ F → · N →   d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 2 ρ 3 s e n 2 ϕ cos ⁡ θ + sen ϕ cos ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

∫ ∫ F → · N →   d S = π 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ ∫ F → · N →   d S = π 2

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