Considere o espaço vetorial e a matriz diagonal dada por:
.
Mostre que a aplicação
define um produto interno em , considere os elementos de representados na forma de vetor coluna.
Passo 1
Antes de tudo, para provar todos os axiomas vamos usar como vetores coluna genéricos: e .
Agora bora lá provar os axiomas do produto interno né? Haha
Simetria:
Isso nos dá:
Multiplicando as matrizes:
Opa, a igualdade é verdadeira, então o axioma da simetria ta provado :)
Passo 2
Linearidade na multiplicação:
Desenvolvendo o lado esquerdo e substituindo o lado direito pelo resultado do passo 1:
Logo, temos que a igualdade é verdadeira:
Passo 3
Linearidade na soma:
Seja , temos:
Colocando e em evidência no lado direito, comprovamos a igualdade:
Então a linearidade ta provada :)
Passo 4
Positividade:
Olha, e sempre vão ser positivos porque estão ao quadrado. Logo, também é sempre maior que 0 :D
E agora:
Como temos a soma de números não negativos, pra que essa soma resulte em 0, eles só podem ser iguais a 0 certo? Logo, pra que isso aconteça, .
Provamos todos os axiomas então :P
Resposta
Demonstração.