Exercícios Resolvidos de Axiomas do Produto Interno

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Enunciado

Considere o espaço vetorial e a matriz diagonal dada por:

.

Mostre que a aplicação

define um produto interno em , considere os elementos de representados na forma de vetor coluna.

Passo 1

Antes de tudo, para provar todos os axiomas vamos usar como vetores coluna genéricos: e .

Agora bora lá provar os axiomas do produto interno né? Haha

Simetria:

Isso nos dá:

Multiplicando as matrizes:

Opa, a igualdade é verdadeira, então o axioma da simetria ta provado :)

Passo 2

Linearidade na multiplicação:

Desenvolvendo o lado esquerdo e substituindo o lado direito pelo resultado do passo 1:

Logo, temos que a igualdade é verdadeira:

Passo 3

Linearidade na soma:

Seja , temos:

Colocando e em evidência no lado direito, comprovamos a igualdade:

Então a linearidade ta provada :)

Passo 4

Positividade:

Olha, e sempre vão ser positivos porque estão ao quadrado. Logo, também é sempre maior que 0 :D

E agora:

Como temos a soma de números não negativos, pra que essa soma resulte em 0, eles só podem ser iguais a 0 certo? Logo, pra que isso aconteça, .

Provamos todos os axiomas então :P

Resposta

Demonstração.

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Sejam u = x 1 ,y 1 ev = x 2 ,y 2 . Mostrar que cada operação a seguir define um produto interno no I R 2 : u ∙ v = x 1 x 2 + y 1 y 2 u ∙ v = 2 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 u ∙ v = x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 +

Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .g) f v 1 , v 2 = 4 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 +

Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .e) f v 1 , v 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + 1

Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .c) f v 1 , v 2 = x 1 2 x 2 + y 1 y 2 2

Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V . f v 1 , v 2 = 2 x 1 x 2 + 3 y 1 y 2