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Exercícios Resolvidos de Axiomas do Produto Interno

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Exercício 123456789101112131415

Enunciado

Considere o espaço vetorial real R n . Verifique se a aplicação abaixo define um produto interno em R n .

x ,   y = ∑ i = 1 n x i y i

Passo 1

Opa o que precisamos fazer aqui?

Isso mesmo, demonstrar os axiomas de novo hahaha

Simetria:

⟨ x ,   y ⟩ = ⟨ y ,   x ⟩

∑ i = 1 n x i y i = ∑ i = 1 n y i x i

Bom, como a multiplicação é comutativa, sabemos que x i y i = y i x i , aí vai ser a somatória da mesma coisa nos dois lados hehe então essa igualdade é verdadeira e a simetria ta provada né?

Passo 2

Linearidade na multiplicação:

⟨ λ x ,   y ⟩ = λ ⟨ y ,   x ⟩

∑ i = 1 n λ x i y i = λ ∑ i = 1 n x i y i

Do lado esquerdo, temos λ x 1 y 1 + λ x 2 y 2 + … + λ x n y n . Já do lado direito, temos λ . ( x 1 y 1 + x 2 y 2 + … + x n y n ) . Então:

| λ x 1 y 1 + λ x 2 y 2 + … + λ x n y n | = λ . | ( x 1 y 1 + x 2 y 2 + … + x n y n ) |

Fazendo a distributiva do lado direito, provamos que a igualdade é verdadeira:

| λ x 1 y 1 + λ x 2 y 2 + … + λ x n y n | = | λ x 1 y 1 + λ x 2 y 2 + … + λ x n y n |

Passo 3

Linearidade na soma:

Seja z , temos:

⟨ x + z ,   y ⟩ = ⟨ x ,   y ⟩ + ⟨ z ,   y ⟩

∑ i = 1 n ( x i + z i ) y i = ∑ i = 1 n x i y i + ∑ i = 1 n z i y i

∑ i = 1 n x i y i + z i y i = ∑ i = 1 n x i y i + ∑ i = 1 n z i y i

x 1 y 1 + z 1 y 1 + x 2 y 2 + z 2 y 2 + … + x n y n + z n y n = x 1 y 1 + x 2 y 2 + … + x n y n + | z 1 y 1 + z 2 y 2 + … + z n y n |

Por propriedade de módulo, podemos “separar” o lado esquerdo, e isso nos prova a igualdade:

x 1 y 1 + x 2 y 2 + … + x n y n + z 1 y 1 + z 2 y 2 + … + z n y n = x 1 y 1 + x 2 y 2 + … + x n y n + | z 1 y 1 + z 2 y 2 + … + z n y n |

Passo 4

Positividade:

x ,   x > 0

∑ i = 1 n x i x i > 0

∑ i = 1 n ( x i ) ² > 0

Bom, ( x i ) ² ao quadrado sempre vai ser positivo certo? E a somatória de vários números positivos só pode ser positiva, entãoo o axioma ta provado :P

Agora:

x ,   x = 0 ⇔ x = 0

∑ i = 1 n ( x i ) ² = 0

Pra que a soma de vários números não negativos resulte em 0, todos os números devem ser 0 concorda? Então, x i = 0 ! :D

Provamos todos os axiomasss!

Resposta

Demonstração.

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Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V . f v 1 , v 2 = 2 x 1 x 2 + 3 y 1 y 2