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Exercícios Resolvidos de Axiomas do Produto Interno

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Exercício 131234567891011121415

Enunciado

UFES, Álgebra Linear, P3 Manhã, 2017.2 - Questão 4b

Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove as verdadeiras e apresente um contraexemplo para as falsas.

b) Sejam p t = a 0 + a 1 t + a 2 t ² e q t = b 0 + b 1 t + b 2 t ² polinômios em P 2 . Então

p , q = a 0 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2

Define um produto interno em P 2

Passo 1

Oiii galera, vamos lá pra mais uma!

Esse exercício deu uma função pra gente:

p , q = a 0 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2

Onde p t = a 0 + a 1 t + a 2 t ² e q t = b 0 + b 1 t + b 2 t ²

E aí queremos ver se isso define um produto interno, vamos?

Só lembrando aqui os requisitos pra uma função ser um produto interno:

- α v 1 , v 2 = α v 1 , v 2

- v 1 , v 2 = v 2 , v 1

- u + v 1 , v 2 = u , v 2 + v 1 , v 2

- v 1 , v 1 > 0 , para v ≠ 0

- v 1 , v 1 = 0 ⇔ v 1 = 0

Show, então é só verificarmos se a nossa função cumpre com tudo isso, belezinha?

Se cumprir, é produto interno 😊

Passo 2

Vamos começar vendo se a função cumpre com α . p , q = α p , q

Temos que

α . p , q = α . a 0 + α . a 1 t + α . a 2 t ²     , b 0 + b 1 t + b 2 t ²

Então

α . p , q = α . a 0 b 0 + α . a 1 b 1 + α . a 2 b 2

Se deixarmos o α do lado de fora vamos ter:

α p , q = α a 0 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 = α . a 0 b 0 + α . a 1 b 1 + α . a 2 b 2

Ebaaaa, deu a mesma coisa do que quando fizemos α . p , q

Então o primeiro axioma ta verificado ok?

Passo 3

Para o segundo axioma, temos que ter

p , q = q , p

Temos que

p , q = a 0 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2

Enquanto

q , p = b 0 a 0 + b 1 a 1 + b 2 a 2

(repara que só trocamos as coordenadas de lugar)

Por comutatividade da multiplicação de números reais, temos que p , q = q , p

Passo 4

No terceiro axioma, vamos supor um outro polinômio r t = c 0 + c 1 t + c 2 t ² , além dos que já tínhamos: p t = a 0 + a 1 t + a 2 t ² e q t = b 0 + b 1 t + b 2 t ²

Aí queremos ver se é verdade que

p + q , r = p , r + q , r

Vamos começar calculando p + q , r

p + q , r = a 0 + b 0 + t . a 1 + b 1 + t 2 . ( a 2 + b 2 ) , c 0 + c 1 t + c 2 t ²

Multiplicando coordenada com coordenada:

p + q , r = a 0 + b 0 . c 0 + a 1 + b 1 . c 1 + a 2 + b 2 . c 2

Beleza, agora vamos calcular p , r + q , r

p , r + q , r = a 0 c 0 + a 1 c 1 + a 2 c 2 + c 0 b 0 + c 1 b 1 + c 2 b 2

Colocando termos comuns em evidência, temos:

p , r + q , r = a 0 + b 0 . c 0 + a 1 + b 1 . c 1 + a 2 + b 2 . c 2

Então, encontramos que p + q , r = p , r + q , r

Se quiser pode ir lá tomar uma água antes de irmos pros últimos axiomas hahaha

Passo 5

Agora queremos ver se p , p > 0 para p ≠ 0

Ou seja, queremos ver se quando fazemos p com ele mesmo, o resultado é sempre positivo

Temos:

p , p = a 0 a 0 + a 1 a 1 + a 2 a 2

p , p = a 0 ² + a 1 ² + a 2 ²

Opa, temos a soma de termos ao quadrado né? Então isso aí seeeempre vai ser positivo, considerando que todos os termos sejam diferentes de 0

Logo, esse axioma ta verificado também!!

Passo 6

Por fim, queremos ver se p , p = 0 para p = 0

Temos que

p , p = a 0 ² + a 1 ² + a 2 ²

A única forma dessa soma de vários termos ao quadrado ser 0 é se todos os termos valerem 0, certo?

Então ta tudo verificadooooo

A afirmação é verdadeira, todos os axiomas para que seja produto interno foram verificados e cumpridos 😉

Resposta

Verdadeira

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Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .e) f v 1 , v 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + 1
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .c) f v 1 , v 2 = x 1 2 x 2 + y 1 y 2 2
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V . f v 1 , v 2 = 2 x 1 x 2 + 3 y 1 y 2