No espaço linear real de todos os polinômios reais, determine se

⟨ p ,   q ⟩ = p 1 q ( 1 )

é um produto interno, e, em caso negativo, indique quais dos axiomas da definição de produto interno são violados.

Passo 1

Bom, a gente viu que pra uma aplicação ser produto interno, ela deve cumprir os axiomas de simetria, linearidade na soma e na multiplicação e positividade.

Vamos testar esses 4 axiomas para verificar se a aplicação do enunciado é um produto interno beleza?

Começando pela simetria:

⟨ p ,   q ⟩ = ⟨ q ,   p ⟩

p 1 q 1 = q 1 p ( 1 )

Como a multiplicação é uma operação comutativa, então, de fato, p 1 q 1 = q 1 p ( 1 ) . Logo, o axioma da simetria é satisfeito certo? Vamos testar o da linearidade agora.

Passo 2

Linearidade na multiplicação:

⟨ λ p ,   q ⟩ = λ ⟨ p ,   q ⟩

Aplicando a operação do enunciado:

λ p 1 q 1 = λ ( p 1 q 1 )

De fato:

λ p 1 q 1 = λ p 1 q 1

Linearidade na soma:

Seja o polinômio s ( x ) :

⟨ p + s ,   q ⟩ = ⟨ p ,   q ⟩ + ⟨ s ,   q ⟩

Com a aplicação do enunciado:

p 1 + s 1 q 1 = p 1 q 1 + s 1 q 1

Fazendo a distributiva do lado esquerdo:

p 1 q 1 + s 1 q 1 = p 1 q 1 + s 1 q 1

Então, tanto a linearidade da soma como a da multiplicação são satisfeitas!! Agora só falta um axioma :D

Passo 3

Positividade:

p ,   p > 0

p 1 p 1 > 0

p 1 2 > 0

De fato, qualquer valor ao quadrado é positivo certo? Então o axioma da positividade também é satisfeito :D

Agora vamos provar que

p ,   p = 0 ⇔ p = 0

p ,   p = 0

p 1 p 1 = 0

p 1 2 = 0

Para um número ao quadrado ser 0, sabemos que esse número deve ser 0 também certo? Então, de fato: p ,   p = 0 ⇔ p = 0

Com todos os axiomas satisfeitos, temos que realmente ⟨ p ,   q ⟩ = p 1 q ( 1 ) representa um produto interno! Uhuuu

Resposta

É um produto interno :)

Exercícios Resolvidos de Axiomas do Produto Interno

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