No espaço linear real de todos os polinômios reais, determine se
é um produto interno, e, em caso negativo, indique quais dos axiomas da definição de produto interno são violados.
Passo 1
Bom, a gente viu que pra uma aplicação ser produto interno, ela deve cumprir os axiomas de simetria, linearidade na soma e na multiplicação e positividade.
Vamos testar esses 4 axiomas para verificar se a aplicação do enunciado é um produto interno beleza?
Começando pela simetria:
Como a multiplicação é uma operação comutativa, então, de fato, . Logo, o axioma da simetria é satisfeito certo? Vamos testar o da linearidade agora.
Passo 2
Linearidade na multiplicação:
Aplicando a operação do enunciado:
De fato:
Linearidade na soma:
Seja o polinômio :
Com a aplicação do enunciado:
Fazendo a distributiva do lado esquerdo:
Então, tanto a linearidade da soma como a da multiplicação são satisfeitas!! Agora só falta um axioma :D
Passo 3
Positividade:
De fato, qualquer valor ao quadrado é positivo certo? Então o axioma da positividade também é satisfeito :D
Agora vamos provar que
Para um número ao quadrado ser 0, sabemos que esse número deve ser 0 também certo? Então, de fato:
Com todos os axiomas satisfeitos, temos que realmente representa um produto interno! Uhuuu
Resposta
É um produto interno :)