Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove as verdadeiras e apresente um contraexemplo para as falsas.

(b) Sejam v 1 = x 1 , y 1 e v 2 = ( x 2 , y 2 ) vetores em R ² . A função

v 1 , v 2 = x 1 2 x 2 + y 1 y 2 ²

Define um produto interno em R ²

Passo 1

Oiii galera, vamos lá pra mais uma!

Esse exercício deu uma função pra gente:

v 1 , v 2 = x 1 2 x 2 + y 1 y 2 ²

Onde v 1 = x 1 , y 1 e v 2 = ( x 2 , y 2 )

E aí queremos ver se isso define um produto interno, fechou?

Pra isso, vamos lembrar os requisitos pra uma função ser um produto interno

- α v 1 , v 2 = α v 1 , v 2

- v 1 , v 2 = v 2 , v 1

- u + v 1 , v 2 = u , v 2 + v 1 , v 2

- v 1 , v 1 > 0 , para v ≠ 0

- v 1 , v 1 = 0 ⇔ v 1 = 0

Show, então é só verificarmos se a nossa função cumpre com tudo isso, belezinha?

Se cumprir, é produto interno 😊

Passo 2

Vamos começar vendo se a função cumpre com α v 1 , v 2 = α v 1 , v 2

Temos que

v 1 , v 2 = x 1 2 x 2 + y 1 y 2 ²

Onde v 1 = x 1 , y 1 e v 2 = x 2 , y 2

Então

α v 1 , v 2 = ( α x 1 , α y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) = α x 1 2 x 2 + α y 1 y 2 2 = α 2 x 1 2 x 2 + α y 1 y 2 ²

Passo 3

Enquanto se deixarmos o α do lado de fora vamos ter:

α v 1 , v 2 = α x 1 2 x 2 + y 1 y 2 2 = α x 1 2 x 2 + α y 1 y 2 ²

Opa, deu uma diferença aí né! O α ficou ao quadrado no α v 1 , v 2 , mas não ficou no α v 1 , v 2

Ou seja, a função já não cumpriu com o primeiro axioma, logo, não vai ser produto interno beleza??

Olha só, nem precisamos verificar tudo hahahaa

Resposta

F a l s o

Exercícios Resolvidos de Axiomas do Produto Interno

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