Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Axiomas do Produto Interno

Ver Teoria
Exercício 111234567891012131415

Enunciado

UFES, Álgebra Linear, P3 Tarde, 2017.2 - Questão 4b

Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove as verdadeiras e apresente um contraexemplo para as falsas.

(b) Sejam v 1 = x 1 , y 1 e v 2 = ( x 2 , y 2 ) vetores em R ² . A função

v 1 , v 2 = x 1 2 x 2 + y 1 y 2 ²

Define um produto interno em R ²

Passo 1

Oiii galera, vamos lá pra mais uma!

Esse exercício deu uma função pra gente:

v 1 , v 2 = x 1 2 x 2 + y 1 y 2 ²

Onde v 1 = x 1 , y 1 e v 2 = ( x 2 , y 2 )

E aí queremos ver se isso define um produto interno, fechou?

Pra isso, vamos lembrar os requisitos pra uma função ser um produto interno

- α v 1 , v 2 = α v 1 , v 2

- v 1 , v 2 = v 2 , v 1

- u + v 1 , v 2 = u , v 2 + v 1 , v 2

- v 1 , v 1 > 0 , para v ≠ 0

- v 1 , v 1 = 0 ⇔ v 1 = 0

Show, então é só verificarmos se a nossa função cumpre com tudo isso, belezinha?

Se cumprir, é produto interno 😊

Passo 2

Vamos começar vendo se a função cumpre com α v 1 , v 2 = α v 1 , v 2

Temos que

v 1 , v 2 = x 1 2 x 2 + y 1 y 2 ²

Onde v 1 = x 1 , y 1 e v 2 = x 2 , y 2

Então

α v 1 , v 2 = ( α x 1 , α y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) = α x 1 2 x 2 + α y 1 y 2 2 = α 2 x 1 2 x 2 + α y 1 y 2 ²

Passo 3

Enquanto se deixarmos o α do lado de fora vamos ter:

α v 1 , v 2 = α x 1 2 x 2 + y 1 y 2 2 = α x 1 2 x 2 + α y 1 y 2 ²

Opa, deu uma diferença aí né! O α ficou ao quadrado no α v 1 , v 2 , mas não ficou no α v 1 , v 2 ☹

Ou seja, a função já não cumpriu com o primeiro axioma, logo, não vai ser produto interno beleza??

Olha só, nem precisamos verificar tudo hahahaa

Resposta

F a l s o

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam u = x 1 ,y 1 ev = x 2 ,y 2 . Mostrar que cada operação a seguir define um produto interno no I R 2 : u ∙ v = x 1 x 2 + y 1 y 2 u ∙ v = 2 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 u ∙ v = x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 +
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .g) f v 1 , v 2 = 4 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 +
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .e) f v 1 , v 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + 1
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .c) f v 1 , v 2 = x 1 2 x 2 + y 1 y 2 2
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V . f v 1 , v 2 = 2 x 1 x 2 + 3 y 1 y 2