Seja o espaço linear real das matrizes com entradas reais. Mostre que
define um produto interno em , onde , o traço de , é a soma dos elementos da diagonal principal de .
Passo 1
E lá vamos nós testar os 4 axiomas do produto interno hehe
Começando pela simetria:
A diagonal principal de é a mesma diagonal principal de , então a soma dos seus elementos também vai ser igual certo? Hehe, logo, de fato
E então o axioma da simetria é satisfeito :D
Passo 2
Vamos testar os axiomas de linearidade ok?
Linearidade na multiplicação:
Seja o elemento da linha 1 e coluna 1 da matriz e o elemento da última linha e coluna (aquele mais embaixo e mais à direita haha), o traço da matriz vai ser .
No caso desse axioma, do lado esquerdo temos multiplicando a matriz inteira, do lado direito ele multiplica apenas a soma dos elementos da diagonal principal:
Mas, fazendo a distributiva de do lado direito, a igualdade é comprovada:
Passo 3
Linearidade na soma:
Seja a matriz
Aplicando distributividade do lado esquerdo:
Agora vamos raciocinar com um exemplo, dadas as duas matrizes genéricas a seguir:
Temos que
Enquanto
Opa, repara que haha
Então, voltando lá em cima, matematicamente:
O axioma da linearidade é satisfeito :)
Passo 4
Positividade:
Na matriz os elementos da diagonal principal sempre vai ser a soma de números ao quadrado, e o que sabemos sobre eles? Que sempre são positivos certo?
Então, certamente o traço da matriz vai ser uma soma de números positivos então vai ser positivo também :)
Agora vamos verificar se
Para que a diagonal principal de seja , só pode ser uma matriz nula, porque olha:
Então, todos os axiomas estão verificados :D
Resposta
Demonstração.