Seja a função f : R 2 × R 2 → M 1,1 x 1 , y 1 , x 2 , y 2 → x 1 , y 1 1 1 1 2 x 2 y 2 Mostre que f é um produto interno em R 2 Passo 1Para mostrarmos que f é um produto interno basta verificarmos que ele satisfaz todos os axiomas. Simetria: u , v = 〈 v , u 〉 x 1 , y 1 1 1 1 2 x 2 y 2 = x 2 , y 2 1 1 1 2 x 1 y 1 x 1 , y 1 x 2 + y 2 x 2 + 2 y 2 = x 2 , y 2 x 1 + y 1 x 1 + 2 y 1 x 1 x 2 + y 2 + y 1 x 2 + 2 y 2 = x 2 x 1 + y 1 + y 2 x 1 + 2 y 1 x 1 x 2 + x 1 y 2 + y 1 x 2 + 2 y 1 y 2 = x 2 x 1 + x 2 y 1 + y 2 x 1 + 2 y 2 y 1 ✓ Linearidade: λ u , v = λ u , v λ x 1 , λ y 1 1 1 1 2 x 2 y 2 = λ x 1 , y 1 1 1 1 2 x 2 y 2 λ x 1 x 2 + y 2 + λ y 1 x 2 + 2 y 2 = λ x 1 x 2 + y 2 + y 1 x 2 + 2 y 2 ✓ u + w , v = u , v + 〈 w , v 〉 w = x 3 , y 3 x 1 + x 3 , y 1 + y 3 1 1 1 2 x 2 y 2 = x 1 , y 1 1 1 1 2 x 2 y 2 + x 3 , y 3 1 1 1 2 x 2 y 2 ( x 1 + x 3 ) x 2 + y 2 + y 1 + y 3 x 2 + 2 y 2 = = x 1 x 2 + y 2 + y 1 x 2 + 2 y 2 + x 3 x 2 + y 2 + y 3 x 2 + 2 y 2 ✓ Positividade: u , u > 0 x 1 , y 1 1 1 1 2 x 1 y 1 > 0 x 1 x 1 + y 1 + y 1 x 1 + 2 y 1 > 0 x 1 2 + x 1 y 1 + x 1 y 1 + 2 y 1 2 > 0 x 1 2 + 2 x 1 y 1 + y 1 2 + y 1 2 > 0 x 1 + y 1 2 + y 1 2 > 0 ✓ u , u = 0 ⇔ u = 0 x 1 + y 1 2 + y 1 2 = 0 ⇔ x 1 , y 1 = 0,0 ✓ Prontinho, está mostrado.RespostaEi, a resposta está no passo a passo :)MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios Resolvidos de Axiomas do Produto InternoVer TeoriaExercício 812345679101112131415Carregar mais exercícios (15) Exercícios de Livros RelacionadosSejam u = x 1 ,y 1 ev = x 2 ,y 2 . Mostrar que cada operação a seguir define um produto interno no I R 2 : u ∙ v = x 1 x 2 + y 1 y 2 u ∙ v = 2 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 u ∙ v = x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 +Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .g) f v 1 , v 2 = 4 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 +Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .e) f v 1 , v 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + 1Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .c) f v 1 , v 2 = x 1 2 x 2 + y 1 y 2 2Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V . f v 1 , v 2 = 2 x 1 x 2 + 3 y 1 y 2Ver TambémVer tudo sobre Álgebra Linear e Geometria AnalíticaVer tudo sobre Produto InternoLista de exercícios de Axiomas do Produto Interno