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Exercícios Resolvidos de Axiomas do Produto Interno

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Exercício 121234567891011131415

Enunciado

USP – Álgebra Linear 2 – P2 - 2017

Q12. Considere as seguintes afirmações:

(i) a função ⋅ , ⋅ definida por

p , q = p - 1 q - 1 + p 0 q 0 + p 1 q 1 ,

Para quaisquer p , q ∈ P 3 R , é um produto interno em P 3 R ;

(ii) a função ⋅ ,   ⋅   definida por

p , q = ∫ 0 5 p t q t d t ,

Para quaisquer p , q ∈ P 4 R , é um produto interno em P 4 R ;

(iii) a função ⋅ ,   ⋅   definida por

a + b t + c t 2 , a ' + b ' t + c ' t 2 = a a ' - b b ' + 3 c c ' ,

Para quaisquer a ,   b ,   c ,   a ' ,   b ' ,   c ' ∈ R , é um produto interno em P 2 R .

Assinale a alternativa correta:

a) apenas as afirmações (i) e (ii) são verdadeiras;

b) apenas as afirmações (i) e (iii) são verdadeiras;

c) apenas a afirmação (ii) é verdadeira;

d) apenas a afirmação (i) é verdadeira;

e) apenas as afirmações (ii) e (iii) são verdadeiras.

Passo 1

Falaaa... tudo beleza???

Nessa questão vamos analisar as afirmações e dizer qual ou quais são verdadeiras.

Para isso vamos precisar lembrar que para ser um produto interno é preciso que algumas propriedades sejam válidas.

- bilienaridade

- comutatividade

- positividade

Passo 2

(i) Falso

(ii) Verdadeiro

(iii) Verdadeiro

Resposta

Letra E

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Sejam u = x 1 ,y 1 ev = x 2 ,y 2 . Mostrar que cada operação a seguir define um produto interno no I R 2 : u ∙ v = x 1 x 2 + y 1 y 2 u ∙ v = 2 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 u ∙ v = x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 +
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .g) f v 1 , v 2 = 4 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 +
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .e) f v 1 , v 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + 1
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .c) f v 1 , v 2 = x 1 2 x 2 + y 1 y 2 2
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V . f v 1 , v 2 = 2 x 1 x 2 + 3 y 1 y 2