Considere . Sejam e . Verifique se as funções abaixo determinam produtos internos sobre V.
(a)
(b)
Passo 1
Lembra que para uma função ser um produto interno, ela tem que satisfazer as seguintes propriedades:
i)
ii)
iii)
iv)
A princípio a gente teria que testar cada uma dessas propriedades pra cada função que foi definida no enunciado.
Mas também podemos analisar as funções dadas antes de sair fazendo conta e tentar ver qual das propriedades pode não ser satisfeita.
Se acharmos uma que não é satisfeita, já sabemos que a função não é produto interno.
Passo 2
(a) Como aparece um sinal de menos nesse produto interno, vamos analisar a propriedade iv para a função dada no item (a):
Fazendo:
Ou seja, existem outros vetores além do vetor nulo que obedece , desde que eles satisfaçam
Por exemplo, se pegamos o vetor
Então a propriedade iv não é satisfeita e a função dada não é produto interno.
Passo 3
(b) Como a função dada envolve coordenadas ao quadrado, vamos ver o que acontece se a gente multiplica um dos vetores por um escalar
Mas isso não é a mesma coisa que:
Então a propriedade iii não é satisfeita e essa função também não é produto interno.
Resposta
(a) Não é produto interno.
(b) Não é produto interno.