Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Axiomas do Produto Interno

Ver Teoria
Exercício 141234567891011121315

Enunciado

UFRJ, P3-2019.2

Denote por x → | y → o produto interno euclidiano de dois vetores x → e y →   de R 4 .

Considere as afirmativas:

  1. A transformação S : R 4 → R definida por S v → = v → | v → é linear.
  2. Seja u → = 1 ,   3 ,   - 1 ,   - 2 . A transformação T : R 4 → R definida por T v → = u → | v →
  1. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
  2. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
  3. (I) é falsa e (II) é falsa.
  4. (I) é falsa e (II) é verdadeira.

Passo 1

Belezoca de motoca galerinha, pra provar a linearidade de uma transformação T , temos que dado dois vetores u → e v → e uma constante k a transformação é linear se:

T u → + k v → = T u → + k T v →

Na afirmativa (I) ele quer saber se S v → = v → | v → é linear, logo:

S u → + k v →

Pela linearidade, teríamos que:

S u → + k v → = S u → + k S v →

S u → + k v → = u → | u → + k v → | v →

Maaass, se a gente calcular essa transformação, obtemos:

S u → + k v → = u → + k v → | u → + k v →

Distribuindo o primeiro vetor:

S u → + k v → = u → | u → + k v → + k v → | u → + k v →

Agora distribuindo o segundo:

S u → + k v → = u → | u → + k u → | v → + k v → | u → + k ² v → | v →

S u → + k v → = u → | u → + 2 k u → | v → + k ² v → | v →

Que é BEEEMM DIFERENTE do que a gente deveria ter encontrado, logo essa transformação NÃO É LINEAR!!! Alternativa falsa.

Passo 2

Já na afirmativa (II), dado u → = 1 ,   3 ,   - 1 ,   - 2 queremos saber se T v → = u → | v → é linear. E da mesma maneira, temos que mostrar que:

T w → + k v → = T w → + k T v →

Ou seja:

T w → + k v → = w → | v → + k u → | v →

Então se a gente calcular essa transformação, temos que:

T w → + k v → = u → | w → + k v →

E distribuindo o segundo termo:

T w → + k v → = u → | w → + u → | k v →

Passando o k para fora:

T w → + k v → = u → | w → + k u → | v →

Que é EXATAMENTE IGUAL o que a gente previu com a linearidade. Portanto T é linear. Resposta certa, letra (d).

Resposta

Letra (d)

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam u = x 1 ,y 1 ev = x 2 ,y 2 . Mostrar que cada operação a seguir define um produto interno no I R 2 : u ∙ v = x 1 x 2 + y 1 y 2 u ∙ v = 2 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 u ∙ v = x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 +
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .g) f v 1 , v 2 = 4 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 +
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .e) f v 1 , v 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + 1
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .c) f v 1 , v 2 = x 1 2 x 2 + y 1 y 2 2
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V . f v 1 , v 2 = 2 x 1 x 2 + 3 y 1 y 2