Considere o espaço vetorial real . Mostre que a aplicação
representa um produto interno.
Passo 1
E vamos de demonstração dos axiomas de produto interno hahaha
Simetria:
Ora, sabemos que a multiplicação é uma operação comutativa, então , e aí o resultado das integrais com certeza vai ser o mesmo, certo? Então o axioma da simetria ta provado :D
Passo 2
Linearidade na multiplicação:
Lá de cálculo 1, sabemos que uma constante pode ser tirada de dentro da integral. Opa! é uma constante né? Então vamos tirar ela da integral do lado esquerdo:
E está provada a linearidade na multiplicação :P
Linearidade na soma:
Seja o polinômio :
Aplicando a distributividade do lado direito da igualdade:
Em cálculo 1, também vimos que se tivermos soma dentro de uma integral, podemos separar em duas integrais, assim:
Então o axioma da linearidade na multiplicação também é satisfeito, aeee!
Passo 3
Positividade:
Qualquer valor ao quadrado é positivo, certo? Além disso, como nosso conjunto é dado como , temos que , portanto, na resolução da integral, teremos algo tipo ao invés de (um exemplo ta? hihi) e então o nosso resultado vai ser positivo :)
Também poderíamos ver isso por análise gráfica. A integral representa a área de um gráfico, e a área de entre e sempre vai ser positiva.
Agora vamos provar que
Para que essa integral seja 0 no intervalo , só pode ser 0.
E estão provados os axiomas :D
Resposta
Demonstração.