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Exercícios Resolvidos de Axiomas do Produto Interno

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Exercício 151234567891011121314

Enunciado

A3 T1

Seja P 2 o espaço vetorial dos polinômios da forma p x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 e seja P 3 o espaço vetorial dos polinômios da forma p x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 . Em ambos os espaços, defina a forma bilinear p , q = p - 1 q - 1 + p 0 q 0 + p 1 q 1 . Considere as afirmações:

  1. 〈 ∙ , ∙ 〉 é um produto interno em P 2 .
  2. 〈 ∙ , ∙ 〉 é um produto interno em P 3 .

a   Ambas são verdadeiras.

( b ) I é verdadeira, I I é falsa.

( c ) Ambas são falsas.

( d ) I é falsa, I I é verdadeira.

Passo 1

Bom, temos que testar isso aí pra ver se obedece os axiomas ou não. Antes de começarmos vou mandar uma dica! Quando estamos tratando de polinômios comecem testando o axioma que diz que u , u = 0 ⇔ u = 0 . Na maior parte das vezes é esse que vai falhar com polinômios ;)

Passo 2

Em P 2 :

p x = a x 2 + b x + c

Bom, vamos testar esses dois juntos:

p x , p x > 0 ,   p x ≠ 0

p x , p x = 0 ⇔ p x = 0

p x = a x 2 + b x + c

p x , p x = p - 1 p - 1 + p 0 p 0 + p 1 p 1

p x , p x = p 2 - 1 + p 2 0 + p 2 1

O que claramente é maior ou igual a zero. Para termos p 2 - 1 + p 2 0 + p 2 1 = 0 precisamos que p - 1 = p 0 = p 1 = 0 . Se isso só for verdade para p x = 0 , nosso polinômio passará por esse teste! Caso contrário, ele não passa.

p - 1 = 0 ⇒ p 0 = 0 ⇒ p 1 = 0 ⇒ a - b + c = 0 c = 0 a + b + c = 0

Como c = 0 , temos:

a - b = 0 a + b = 0

Somando as equações temos:

a = 0 ⇒ b = 0

Logo, a única forma de termos p x , p x = 0 é com p x = 0 x 2 + 0 x + 0 = 0 .

Passo 3

Vamos ver a simetria agora:

p x , q x = p - 1 q - 1 + p 0 q 0 + p 1 q 1 = q - 1 p - 1 + q 0 p 0 + q 1 p 1 = q x , p x

Válido também!

Agora a linearidade:

λ p x , q x = λ p - 1 q - 1 + λ p 0 q 0 + λ p 1 q 1 = λ p - 1 q - 1 + p 0 q 0 + p 1 q 1 = λ p x , q x

p x + q x , r x = p + q - 1 r - 1 + p + q 0 r 0 + p + q 1 r 1

= p - 1 + q - 1 r - 1 + p 0 + q 0 r 0 + p 1 + q 1 r 1 =

= p - 1 r - 1 + q - 1 r - 1 + p 0 r 0 + q 0 r 0 + p 1 r 1 + q 1 r 1 =

= p x , r x + q x , r x

E pronto! Ta provado, essa é linear! Falta ver se é pro P 3 também!

Passo 4

Em P 3 :

p x = a x 3 + b x 2 + c x + d

De novo, vamos começar testando esses dois:

p x , p x > 0 ,   p x ≠ 0

p x , p x = 0 ⇔ p x = 0

p x = a x 3 + b x 2 + c x + d

p x , p x = p - 1 p - 1 + p 0 p 0 + p 1 p 1

p x , p x = p 2 - 1 + p 2 0 + p 2 1

O que novamente é maior ou igual a zero. Para termos p 2 - 1 + p 2 0 + p 2 1 = 0 precisamos que p - 1 = p 0 = p 1 = 0 . De novo, temos que verificar se isso só é verdade para p x = 0 . Se for, nosso polinômio passará por esse teste.

p - 1 = 0 ⇒ p 0 = 0 ⇒ p 1 = 0 ⇒ - a + b - c + d = 0 d = 0 a + b + c + d = 0

Como d = 0 , temos:

- a + b - c = 0 a + b + c = 0

Somando as equações temos que b = 0 e o sistema passa a ser:

- a - c = 0 ⇒ a = - c a + c = 0 ⇒ a = - c

Opa, então vimos que basta termos um polinômio da forma

a x 3 - a x

para que p x , p x = 0 . Logo, ele não passou nesse teste, e esse não é um produto interno válido.

Resposta

Letra ( b )

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Sejam u = x 1 ,y 1 ev = x 2 ,y 2 . Mostrar que cada operação a seguir define um produto interno no I R 2 : u ∙ v = x 1 x 2 + y 1 y 2 u ∙ v = 2 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 u ∙ v = x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 +
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .g) f v 1 , v 2 = 4 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 +
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .e) f v 1 , v 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + 1
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .c) f v 1 , v 2 = x 1 2 x 2 + y 1 y 2 2
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V . f v 1 , v 2 = 2 x 1 x 2 + 3 y 1 y 2