Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Conjunto Fundamental de Solução

Ver Teoria
Exercício 12345678910111213141516

Enunciado

Classifique em Verdadeiro ou Falso a afirmação abaixo, justificando.

Todas as soluções da equação diferencial

t 2 y ' ' - 2 y = 0 ,   t > 0

São dadas pela fórmula y t = C 1 t 2 + C 2 t - 1 , onde C 1 e C 2 são constantes.

Passo 1

Vamos começar vendo se t 2 é solução

y 1 t = t 2

y 1 ' t = 2 t

y 1 ' ' t = 2

Substituindo na equação

t 2 2 - 2 t 2 = 2 t 2 - 2 t 2 = 0

Beleza ele é solução.

Vamos ver se t - 1 também vai ser

y 2 t = t - 1

y 2 ' t = - t - 2

y 2 ' ' t = 2 t - 3

Substituindo na equação

t 2 2 t - 3 - 2 t - 1 = 2 t - 1 - 2 t - 1 = 0

Pronto, as duas funções são soluções, precisamos ver agora se elas são soluções linearmente independentes.

Passo 2

Para ver se são linearmente independentes temos que calcular o Wroskiano e ver se ele é ou não zero.

O Wroskiano é o determinante abaixo

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 '

W = t 2 t - 1 2 t - t - 2 = t 2 - t - 2 - 2 t t - 1 = - 1 - 2 = - 3 ≠ 0

Passo 3

-

Vamos reescrever agora a nossa EDO da seguinte forma

y ' ' - 2 t 2 y = 0

A função - 2 t 2 é contínua no intervalo - ∞ , 0 ∪ ( 0 , ∞ ) .

Como o Wroskiano é diferente de 0 , essas duas funções são soluções linearmente independentes e a solução da função vai ser

y t = C 1 t 2 + C 2 t - 1

No intervalo - ∞ , 0 ∪ ( 0 , ∞ )

Logo essa afirmação é verdadeira

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

Verifique que y = 1 x é uma solução para a equação diferencial não-linear y ' ' = 2 y 3 no intervalo ( 0 ,∞ ) .Mostre que um múltiplo y = c / x não é uma solução para a equação quando c ≠ 0 , ± 1 .
Nos problemas 33-40, verifique que as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial no intervalo indicado. Forme a solução geral. x 3 y ' ' ' + 6 x 2 y ' ' + 4 x
Verifique que y 1 = 1ey 2 = ln ⁡ x é uma solução para a equação diferencial não-linear y ' ' + y ' 2 = 0 no intervalo ( 0 ,∞ ) . y 1 + y 2 é solução para a equação? c 1 y 1 + c 2 y 2 ,c 1ec 2 constant
Nos problemas 48 e 49, use os resultados do Problema 47.No capítulo 6, veremos que as soluções y 1ey 2 para x y ' ' + y ' + x y = 0 , 0x∞ , são séries infinitas. Suponha que consideremos as condições
Verifique que y 1 = x 3ey 2 = x 3 são linearmente independentes da equação diferencial x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 0 em - ∞ ,∞ . Mostre que W y 1 ,y 2 = 0 para todo número real.O resultado da parte (b