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Exercícios Resolvidos de Conjunto Fundamental de Solução

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Exercício 15123456789101112131416

Enunciado

Verifique que as funções y 1 e y 2 são soluções da seguinte equação diferencial. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções?

y ' ' - 2 y ' + y = 0 ,     y 1 t = e t ,     y 2 t = t e t

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

A primeira coisa que nós precisamos fazer é verificar se y 1 e y 2 são soluções da nossa equação:

y ' ' - 2 y ' + y = 0

Para isso, vamos derivar as equações e em seguida substituir na EDO:

y 1 t = e t

y 1 ' t = e t ,     y 1 ' ' t = e t

E

y 2 t = t e t

y 2 ' t = e t + t e t ,     y 2 ' ' t = 2 e t + t e t

Passo 2

Substituindo y 1 na EDO:

y ' ' - 2 y ' + y = 0

e t - 2 e t + e t = 0

2 e t - 2 e t = 0

Portanto, y 1 é solução da EDO.

No segundo caso, temos:

2 e t + t e t - 2 e t + t e t + t e t = 0

2 e t + t e t - 2 e t - 2 t e t + t e t = 0

2 t e t - 2 t e t + 2 e t - 2 e t = 0

Portanto, y 2 também é solução da EDO.

Passo 3

Agora, para que y 1 e y 2 formem um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial, pelos teoremas, basta que o Wronskiano W ( y 1 , y 2 ) ( t ) seja diferente de zero para algum t > 0 . Então, vamos calcular o Wronskiano fazendo:

W y 1 , y 2 t = y 1 t y 2 t y 1 ' t y 2 ' t

Substituindo nossas equações:

W y 1 , y 2 t = e t t e t e t e t + t e t

= e t e t + t e t - e t t e t

= e 2 t + t e 2 t - t e 2 t = e 2 t ≠ 0

Logo, y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções da equação.

Valeu, galera! 😉

Resposta

S ã o   s o l u ç õ e s   e   f o r m a m   u m   c o n j u n t o   f u n d a m e n t a l   d e   s o l u ç õ e s

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