Encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário x = 0 para y ' ' - x y ' + 2 y = 0 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma EDO de segunda ordem e pediu pra gente encontrar duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto x = 0 . Lembra como faz isso?

Primeiro, como a nossa série tá em torno do ponto x = 0 , nós podemos escrever:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + …

Esse a n representa os coeficientes de cada termo da série e pode ser qualquer expressão. Então o que nós faremos é encontrar os a n ' s para definir a solução geral y ( x ) . Vamos lá!

Passo 2

Como definimos y ( x ) dada por essa expressão:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Derivando, temos:

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

Derivando mais uma vez:

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2

E substituímos na EDO:

y ' ' - x y ' + 2 y = 0

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 - x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Podemos pegar esse x do lado de fora e passa-lo para dentro, lembrando que x ∙ x n = x n + 1 :

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 - ∑ n = 1 ∞ n a n x n + 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Passo 3

Agora precisamos juntar esses somatórios para simplificar as coisas. Vamos deixá-los com a mesma potência de x , nesse caso, x n . Vamos pegar a primeira série:

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2

Para ficarmos com o mesmo n no expoente, concorda que precisamos somar 2 ? Afinal n - 2 + 2 = n . Então na prática vamos colocar 2 na frente de todo n no somatório:

∑ n + 2 = 2 ∞ ( n + 2 ) ( n + 2 - 1 ) a n + 2 x n + 2 - 2 = ∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n

Vamos ter então:

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n - ∑ n = 1 ∞ n a n x n + ∑ n = 0 ∞ 2 a n x n = 0

Passo 4

Agora vamos andar todo mundo uma unidade para que todos comecem no mesmo ponto:

2 a 2 + ∑ n = 1 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n - ∑ n = 1 ∞ n a n x n + 2 a 0 ∑ n = 1 ∞ 2 a n x n = 0

Vamos juntar os somatórios colocando x n em evidência:

2 a 2 + 2 a 0 + ∑ n = 1 ∞ x n [ n + 2 n + 1 a n + 2 - n a n + 2 a n = 0

2 a 2 + 2 a 0 + ∑ n = 1 ∞ x n [ n + 2 n + 1 a n + 2 + a n 2 - n ] = 0

Veja que temos um somatório de termos positivos que é igual a zero, logo, o termo dos colchetes deve ser zero. Além disso, 2 a 2 + 2 a 0 também deve ser zero pra essa igualdade ser satisfeita. Então chegamos nisso daqui:

2 a 2 + 2 a 0 = 0 n + 2 n + 1 a n + 2 + a n 2 - n = 0

E chegamos a nossa relação de recorrência dos coeficientes. Agora com base nessa equação vamos calcular alguns a n ' s e procurar uma expressão em função de n que os defina.

Passo 5

Usando a relação de recorrência:

n + 2 n + 1 a n + 2 + a n 2 - n = 0

Temos:

a n + 2 = n - 2 ( n + 2 ) n + 1 a n ,       p a r a   n ≥ 1

Vamos substituir alguns valores de n :

p a r a   n = 1       →       a 3 = 1 - 2 ( 1 + 2 ) ( 1 + 1 ) a 1 = - 1 3 ∙ 2 a 1  

p a r a   n = 2       →         a 4 = 2 - 2 ( 2 + 2 ) ( 2 + 1 ) a 2 = 0

p a r a   n = 3       →       a 5 = 3 - 2 ( 3 + 2 ) ( 3 + 1 ) a 3       →       a 5 = 1 5 ∙ 4 a 3 = 1 5 ∙ 4 - 1 3 ! a 1 = - 1 5 ! a 1

p a r a   n = 4       →       a 6 = 4 - 2 ( 4 + 2 ) ( 4 + 1 ) a 4       →       a 6 = 2 6 ∙ 5 a 4 = 2 6 ∙ 5 0 = 0

p a r a   n = 5       →       a 7 = 5 - 2 ( 5 + 2 ) ( 5 + 1 ) a 5       →       a 7 = 3 7 ∙ 6 a 5 = 1 5 ∙ 4 - 1 5 ! a 1 = - 3 7 ! a 1

p a r a   n = 6       →       a 8 = 6 - 2 ( 6 + 2 ) ( 6 + 1 ) a 6       →       a 8 = 4 8 ∙ 7 a 6 = 4 8 ∙ 7 0 = 0

Passo 6

Agora vamos substituir os coeficientes que encontramos na série:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5 + a 6 x 6 + …

= a 0 + a 1 x - a 0 x 2 - a 1 3 ! x 3 - a 1 5 ! x 5 - 3 a 1 7 ! x 7 - 5 ∙ 3 9 ! x 9 + …

Colocando a 0 e a 1 em evidência:

= a 0 1 - x 2 + a 1 ( x - 1 3 ! x 3 - 1 5 ! x 5 - 3 7 ! x 7 - 5 ∙ 3 9 ! x 9 + … )

Repare que a gente tem duas soluções:

y 1 x = 1 - x 2

E

y 2 x = x - 1 3 ! x 3 - 1 5 ! x 5 - 3 7 ! x 7 - 5 ∙ 3 9 ! x 9 + …

Então nossa solução geral tem a forma:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 1 - x 2 + a 1 x - 1 3 ! x 3 - 1 5 ! x 5 - 3 7 ! x 7 - 5 ∙ 3 9 ! x 9 + …

Resposta

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 1 - x 2 + a 1 x - 1 3 ! x 3 - 1 5 ! x 5 - 3 7 ! x 7 - 5 ∙ 3 9 ! x 9 + …

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