UTFPR, Sem Campus, Equações Diferenciais Ordinárias, AV2 - 2022.2, Questão 5
Encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário para .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma EDO de segunda ordem e pediu pra gente encontrar duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto . Lembra como faz isso?
Primeiro, como a nossa série tá em torno do ponto , nós podemos escrever:
Esse representa os coeficientes de cada termo da série e pode ser qualquer expressão. Então o que nós faremos é encontrar os para definir a solução geral . Vamos lá!
Passo 2
Como definimos dada por essa expressão:
Derivando, temos:
Derivando mais uma vez:
E substituímos na EDO:
Podemos pegar esse do lado de fora e passa-lo para dentro, lembrando que :
Passo 3
Agora precisamos juntar esses somatórios para simplificar as coisas. Vamos deixá-los com a mesma potência de , nesse caso, . Vamos pegar a primeira série:
Para ficarmos com o mesmo no expoente, concorda que precisamos somar ? Afinal . Então na prática vamos colocar na frente de todo no somatório:
Vamos ter então:
Passo 4
Agora vamos andar todo mundo uma unidade para que todos comecem no mesmo ponto:
Vamos juntar os somatórios colocando em evidência:
Veja que temos um somatório de termos positivos que é igual a zero, logo, o termo dos colchetes deve ser zero. Além disso, também deve ser zero pra essa igualdade ser satisfeita. Então chegamos nisso daqui:
E chegamos a nossa relação de recorrência dos coeficientes. Agora com base nessa equação vamos calcular alguns e procurar uma expressão em função de que os defina.
Passo 5
Usando a relação de recorrência:
Temos:
Vamos substituir alguns valores de :
Passo 6
Agora vamos substituir os coeficientes que encontramos na série:
Colocando e em evidência:
Repare que a gente tem duas soluções:
E
Então nossa solução geral tem a forma: